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3. 要使 $\dfrac{\sqrt{3 - x}}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是。
答案
$x ≤ 3$ 且 $x ≠ 2$（或写成$x \in (-∞, 2) \cup (2, 3]$）
解析
要使分式 $\dfrac{\sqrt{3 - x}}{x - 2}$ 有意义，需要满足以下两个条件：
1. 分母 $x - 2 ≠ 0$，即 $x ≠ 2$；
2. 被开方数 $3 - x ≥ 0$，即 $x ≤ 3$。
综合以上两个条件，$x$ 的取值范围为 $x ≤ 3$ 且 $x ≠ 2$。
4. $x$ 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) $\sqrt{3x - 1}$； (2) $\sqrt{2x}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 4}$； (4) $(x - 1)^0 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$。
(1) $\sqrt{3x - 1}$； (2) $\sqrt{2x}$；
(3) $\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 4}$； (4) $(x - 1)^0 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$。
答案
(1) 要使 $\sqrt{3x - 1}$ 有意义，需满足：
$3x - 1 ≥ 0$，
解得：
$x ≥ \frac{1}{3}$。
(2) 要使 $\sqrt{2x}$ 有意义，需满足：
$2x ≥ 0$，
解得：
$x ≥ 0$。
(3) 要使 $\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 4}$ 有意义，需同时满足两个条件：
$x - 2 ≥ 0$，
$x - 4 ≠ 0$，
解得：
$x ≥ 2$ 且 $x ≠ 4$。
(4) 要使 $(x - 1)^0 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 有意义，需同时满足两个条件：
$x - 1 ≠ 0$，
$x ＞ 0$，
解得：
$x ＞ 0$ 且 $x ≠ 1$。
$3x - 1 ≥ 0$，
解得：
$x ≥ \frac{1}{3}$。
(2) 要使 $\sqrt{2x}$ 有意义，需满足：
$2x ≥ 0$，
解得：
$x ≥ 0$。
(3) 要使 $\dfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 4}$ 有意义，需同时满足两个条件：
$x - 2 ≥ 0$，
$x - 4 ≠ 0$，
解得：
$x ≥ 2$ 且 $x ≠ 4$。
(4) 要使 $(x - 1)^0 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ 有意义，需同时满足两个条件：
$x - 1 ≠ 0$，
$x ＞ 0$，
解得：
$x ＞ 0$ 且 $x ≠ 1$。
5. 已知 $△ ABC$ 的三边长分别为 $a$，$b$，$c$，试化简：$\sqrt{(a + b + c)^2} + \sqrt{(a - b - c)^2} + \sqrt{(b - c - a)^2} - \sqrt{(c - a - b)^2}$。
答案
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，即a+b+c＞0，a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0。
√[(a+b+c)²]=|a+b+c|=a+b+c；
√[(a-b-c)²]=|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c；
√[(b-c-a)²]=|b-c-a|=-(b-c-a)=a-b+c；
√[(c-a-b)²]=|c-a-b|=-(c-a-b)=a+b-c，故-√[(c-a-b)²]=-(a+b-c)=-a-b+c。
原式=(a+b+c)+(-a+b+c)+(a-b+c)+(-a-b+c)=4c。
答案：4c
解析
∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，即a+b+c＞0，a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-a-b＜0。
√[(a+b+c)²]=|a+b+c|=a+b+c；
√[(a-b-c)²]=|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c；
√[(b-c-a)²]=|b-c-a|=-(b-c-a)=a-b+c；
√[(c-a-b)²]=|c-a-b|=-(c-a-b)=a+b-c，故-√[(c-a-b)²]=-(a+b-c)=-a-b+c。
原式=(a+b+c)+(-a+b+c)+(a-b+c)+(-a-b+c)=4c。
√[(a+b+c)²]=|a+b+c|=a+b+c；
√[(a-b-c)²]=|a-b-c|=-(a-b-c)=-a+b+c；
√[(b-c-a)²]=|b-c-a|=-(b-c-a)=a-b+c；
√[(c-a-b)²]=|c-a-b|=-(c-a-b)=a+b-c，故-√[(c-a-b)²]=-(a+b-c)=-a-b+c。
原式=(a+b+c)+(-a+b+c)+(a-b+c)+(-a-b+c)=4c。
$ (\sqrt{a})^2 = \mathrm{\_\_\_\_\_\_} (a ≥ 0); \sqrt{a^2} = \mathrm{\_\_\_\_\_\_} (a ≥ 0). $
答案
$a$；$a$
解析
1. 对于 $(\sqrt{a})^2$，根据二次根式的定义，当$a≥0$时，$\sqrt{a}$表示$a$的算术平方根，那么$(\sqrt{a})^2 = a$。
2. 对于$\sqrt{a^2}$，因为$a≥0$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，此时$\vert a\vert=a$，所以$\sqrt{a^2}=a$。
3. ①$\sqrt{a}$的双重非负性：一是被开方数$a≥0$；二是$\sqrt{a}≥0$。
4. ②当$a＜0$时，化简$\sqrt{a^2}$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，此时$\vert a\vert = -a$，所以$\sqrt{a^2}=-a$。
2. 对于$\sqrt{a^2}$，因为$a≥0$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，此时$\vert a\vert=a$，所以$\sqrt{a^2}=a$。
3. ①$\sqrt{a}$的双重非负性：一是被开方数$a≥0$；二是$\sqrt{a}≥0$。
4. ②当$a＜0$时，化简$\sqrt{a^2}$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，此时$\vert a\vert = -a$，所以$\sqrt{a^2}=-a$。
思考
① 你知道 \sqrt{a} 的双重非负性吗？
② 如何化简形如 \sqrt{a^2} (a ＜ 0) 的二次根式？
① 你知道 \sqrt{a} 的双重非负性吗？
② 如何化简形如 \sqrt{a^2} (a ＜ 0) 的二次根式？
答案
1. 对于$\sqrt{a}$的双重非负性：
首先，被开方数$a≥0$（因为在实数范围内，负数没有平方根）；
其次，$\sqrt{a}≥0$（算术平方根的结果是非负的）。
2. 化简$\sqrt{a^{2}}(a＜0)$：
解：根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x≥0)\\ - x(x＜0)\end{cases}$。
当$a＜0$时，$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=-a$。
综上，$\sqrt{a}$的双重非负性是$a≥0$且$\sqrt{a}≥0$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^{2}}=-a$。
首先，被开方数$a≥0$（因为在实数范围内，负数没有平方根）；
其次，$\sqrt{a}≥0$（算术平方根的结果是非负的）。
2. 化简$\sqrt{a^{2}}(a＜0)$：
解：根据二次根式的性质$\sqrt{x^{2}}=\vert x\vert=\begin{cases}x(x≥0)\\ - x(x＜0)\end{cases}$。
当$a＜0$时，$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=-a$。
综上，$\sqrt{a}$的双重非负性是$a≥0$且$\sqrt{a}≥0$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^{2}}=-a$。
填空
$ (\sqrt{3})^2 = \mathrm{\_\_\_\_\_\_}, \sqrt{3^2} = \mathrm{\_\_\_\_\_\_}, \sqrt{(-3)^2} = \mathrm{\_\_\_\_\_\_}. $
$ (\sqrt{3})^2 = \mathrm{\_\_\_\_\_\_}, \sqrt{3^2} = \mathrm{\_\_\_\_\_\_}, \sqrt{(-3)^2} = \mathrm{\_\_\_\_\_\_}. $
答案
$3$；$3$；$3$
解析
根据二次根式的性质，$(\sqrt{a})^2 = a$（$a ≥ 0$），$\sqrt{a^2} = |a|$。
对于$(\sqrt{3})^2$，因为$\sqrt{3}$表示3的算术平方根，所以$(\sqrt{3})^2 = 3$。
对于$\sqrt{3^2}$，因为$3^2 = 9$，所以$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}= 3$（3是正数，算术平方根是非负的）。
对于$\sqrt{(-3)^2}$，先计算$(-3)^2 = 9$，则$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}= 3$（算术平方根是非负的，$\vert -3\vert = 3$）。
对于$(\sqrt{3})^2$，因为$\sqrt{3}$表示3的算术平方根，所以$(\sqrt{3})^2 = 3$。
对于$\sqrt{3^2}$，因为$3^2 = 9$，所以$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}= 3$（3是正数，算术平方根是非负的）。
对于$\sqrt{(-3)^2}$，先计算$(-3)^2 = 9$，则$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}= 3$（算术平方根是非负的，$\vert -3\vert = 3$）。
例 1 已知 $ x, y $ 满足 $ \sqrt{x - 2} + \sqrt{3 + y} = 0 $，求 $ x^y $ 的值。
名师导引 非负数之和为 $ 0 $，则每一个非负数均为 $ 0 $。本例中 $ \sqrt{x - 2}, \sqrt{3 + y} $ 均为非负数，因此 $ \sqrt{x - 2} = 0, \sqrt{3 + y} = 0 $。
名师导引 非负数之和为 $ 0 $，则每一个非负数均为 $ 0 $。本例中 $ \sqrt{x - 2}, \sqrt{3 + y} $ 均为非负数，因此 $ \sqrt{x - 2} = 0, \sqrt{3 + y} = 0 $。
答案
$\frac{1}{8}$
解析
因为$\sqrt{x - 2} ≥ 0$，$\sqrt{3 + y} ≥ 0$，且$\sqrt{x - 2} + \sqrt{3 + y} = 0$，所以$\sqrt{x - 2} = 0$，$\sqrt{3 + y} = 0$。
由$\sqrt{x - 2} = 0$，得$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
由$\sqrt{3 + y} = 0$，得$3 + y = 0$，解得$y = -3$。
所以$x^y = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$。
由$\sqrt{x - 2} = 0$，得$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
由$\sqrt{3 + y} = 0$，得$3 + y = 0$，解得$y = -3$。
所以$x^y = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$。
变式训练 如果 $ \sqrt{x - 1} + \sqrt{9 - x} $ 有意义，求代数式 $ |x - 1| + \sqrt{(x - 9)^2} $ 的值。
答案
8
解析
要使$\sqrt{x - 1} + \sqrt{9 - x}$有意义，则$x - 1 ≥ 0$且$9 - x ≥ 0$，解得$1 ≤ x ≤ 9$。
$|x - 1| + \sqrt{(x - 9)^2} = |x - 1| + |x - 9|$，因为$1 ≤ x ≤ 9$，所以$x - 1 ≥ 0$，$x - 9 ≤ 0$，则原式$= x - 1 + 9 - x = 8$。
$|x - 1| + \sqrt{(x - 9)^2} = |x - 1| + |x - 9|$，因为$1 ≤ x ≤ 9$，所以$x - 1 ≥ 0$，$x - 9 ≤ 0$，则原式$= x - 1 + 9 - x = 8$。
例 2 计算：
(1) $ ( \sqrt{\dfrac{5}{3}} )^2 $；
(2) $ (3\sqrt{2})^2 $；
(3) $ ( -5\sqrt{\dfrac{3}{5}} )^2 $；
(4) $ -(-3\sqrt{0.1})^2 $。
(1) $ ( \sqrt{\dfrac{5}{3}} )^2 $；
(2) $ (3\sqrt{2})^2 $；
(3) $ ( -5\sqrt{\dfrac{3}{5}} )^2 $；
(4) $ -(-3\sqrt{0.1})^2 $。
答案
(1)
根据$(\sqrt{a})^2 = a(a≥0)$，对于$(\sqrt{\frac{5}{3}})^2$，这里$a = \frac{5}{3}＞0$，所以$(\sqrt{\frac{5}{3}})^2=\frac{5}{3}$。
(2)
根据$(ab)^2 = a^2b^2$，对于$(3\sqrt{2})^2$，可得$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2$。
因为$3^2 = 9$，$(\sqrt{2})^2 = 2$，所以$3^2×(\sqrt{2})^2=9×2 = 18$。
(3)
根据$(ab)^2 = a^2b^2$，对于$(-5\sqrt{\frac{3}{5}})^2$，可得$(-5\sqrt{\frac{3}{5}})^2=(-5)^2×(\sqrt{\frac{3}{5}})^2$。
因为$(-5)^2 = 25$，$(\sqrt{\frac{3}{5}})^2=\frac{3}{5}$，所以$(-5)^2×(\sqrt{\frac{3}{5}})^2=25×\frac{3}{5}=15$。
(4)
先根据$(ab)^2 = a^2b^2$计算$(-3\sqrt{0.1})^2$，可得$(-3\sqrt{0.1})^2=(-3)^2×(\sqrt{0.1})^2$。
因为$(-3)^2 = 9$，$(\sqrt{0.1})^2 = 0.1$，所以$(-3)^2×(\sqrt{0.1})^2=9×0.1 = 0.9$。
则$-(-3\sqrt{0.1})^2=-0.9$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{5}{3}$；(2)$18$；(3)$15$；(4)$-0.9$。
根据$(\sqrt{a})^2 = a(a≥0)$，对于$(\sqrt{\frac{5}{3}})^2$，这里$a = \frac{5}{3}＞0$，所以$(\sqrt{\frac{5}{3}})^2=\frac{5}{3}$。
(2)
根据$(ab)^2 = a^2b^2$，对于$(3\sqrt{2})^2$，可得$(3\sqrt{2})^2=3^2×(\sqrt{2})^2$。
因为$3^2 = 9$，$(\sqrt{2})^2 = 2$，所以$3^2×(\sqrt{2})^2=9×2 = 18$。
(3)
根据$(ab)^2 = a^2b^2$，对于$(-5\sqrt{\frac{3}{5}})^2$，可得$(-5\sqrt{\frac{3}{5}})^2=(-5)^2×(\sqrt{\frac{3}{5}})^2$。
因为$(-5)^2 = 25$，$(\sqrt{\frac{3}{5}})^2=\frac{3}{5}$，所以$(-5)^2×(\sqrt{\frac{3}{5}})^2=25×\frac{3}{5}=15$。
(4)
先根据$(ab)^2 = a^2b^2$计算$(-3\sqrt{0.1})^2$，可得$(-3\sqrt{0.1})^2=(-3)^2×(\sqrt{0.1})^2$。
因为$(-3)^2 = 9$，$(\sqrt{0.1})^2 = 0.1$，所以$(-3)^2×(\sqrt{0.1})^2=9×0.1 = 0.9$。
则$-(-3\sqrt{0.1})^2=-0.9$。
综上，答案依次为：(1)$\frac{5}{3}$；(2)$18$；(3)$15$；(4)$-0.9$。
变式训练 将下列正数写成一个数的平方的形式：
(1) $ \dfrac{49}{9} $；
(2) $ 2.25 $。
(1) $ \dfrac{49}{9} $；
(2) $ 2.25 $。
答案
【解析】：(1)因为$7^2 = 49$，$3^2 = 9$，所以$\dfrac{49}{9} = (\dfrac{7}{3})^2$；
(2)因为$2.25 = \dfrac{9}{4}$，$3^2 = 9$，$2^2 = 4$，所以$2.25 = (\dfrac{3}{2})^2$
【答案】：(1)$(\dfrac{7}{3})^2$；(2)$(\dfrac{3}{2})^2$
(2)因为$2.25 = \dfrac{9}{4}$，$3^2 = 9$，$2^2 = 4$，所以$2.25 = (\dfrac{3}{2})^2$
【答案】：(1)$(\dfrac{7}{3})^2$；(2)$(\dfrac{3}{2})^2$
解析
(1)因为$7^2 = 49$，$3^2 = 9$，所以$\dfrac{49}{9} = (\dfrac{7}{3})^2$；
(2)因为$2.25 = \dfrac{9}{4}$，$3^2 = 9$，$2^2 = 4$，所以$2.25 = (\dfrac{3}{2})^2$
(2)因为$2.25 = \dfrac{9}{4}$，$3^2 = 9$，$2^2 = 4$，所以$2.25 = (\dfrac{3}{2})^2$
