【例3】如图所示,O 是直线AB 上一点,∠BOC = ∠DOE = 90°,试说明：
(1) ∠1 = ∠2；
(2) ∠COF = ∠AOE.

解:
(1)因为∠BOC=∠DOE=90°,所以∠COE与∠1,∠2都互余,所以∠1=∠2.
(2)因为∠1与∠COF互补,∠2与∠AOE互补,且∠1=∠2,所以∠COF=∠AOE.

【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，先结合已知的两个直角∠BOC和∠DOE，可得出∠1与∠COE的和为90°，∠2与∠COE的和也为90°，即∠1和∠2都是∠COE的余角，根据同角的余角相等即可完成证明。
(2) 要证明∠COF=∠AOE，先结合平角的定义，可得∠1与∠COF互补，∠2与∠AOE互补，再结合(1)中已经证明的∠1=∠2，根据等角的补角相等即可完成证明。
【解析】
(1) 已知∠BOC=90°，因此∠2 + ∠COE = ∠BOC = 90°；
又已知∠DOE=90°，因此∠1 + ∠COE = ∠DOE = 90°；
即∠1和∠2都是∠COE的余角，根据同角的余角相等，可得∠1=∠2。
(2) 因为点D、O、F在同一直线上，∠DOF为平角，所以∠1 + ∠COF = 180°；
因为O是直线AB上的点，∠AOB为平角，所以∠2 + ∠AOE = 180°；
由(1)已证∠1=∠2，根据等角的补角相等，可得∠COF=∠AOE。
【答案】
(1) 因为∠BOC=∠DOE=90°,所以∠COE与∠1,∠2都互余,所以∠1=∠2。
(2) 因为∠1与∠COF互补,∠2与∠AOE互补,且∠1=∠2,所以∠COF=∠AOE。
【知识点】
余角的性质，补角的性质，平角的定义
【点评】
本题是角的关系证明的基础题型，解题的关键是准确找到角之间的互余、互补关系，熟练运用余角和补角的性质推导角的相等关系，是后续复杂几何角度计算和证明的基础。
【难度系数】
0.8

4. 如图所示,已知∠ACB = 90°,∠ADC = 90°,则下列说法错误的是( )

A.∠A 与∠B 互为余角
B.∠1 与∠2 互为余角
C.∠2 与∠B 互为余角
D.∠1 与∠B 互为余角

D

【分析】
解题首先要明确余角的定义：如果两个角的度数之和为90°，那么这两个角互为余角。结合题目给出的∠ACB=90°、∠ADC=90°两个直角条件，逐一分析每个选项中两个角的和是否为90°，即可找出说法错误的选项。
【解析】
已知∠ACB=90°，∠ADC=90°，由此可得∠BDC=180°-∠ADC=90°。
对选项A：在△ACB中，∠A+∠B+∠ACB=180°，代入∠ACB=90°得∠A+∠B=90°，二者互为余角，A说法正确，不符合题意。
对选项B：由∠ACB=∠1+∠2=90°，可得∠1与∠2互为余角，B说法正确，不符合题意。
对选项C：在△BDC中，∠2+∠B+∠BDC=180°，代入∠BDC=90°得∠2+∠B=90°，二者互为余角，C说法正确，不符合题意。
对选项D：在△ADC中，∠1+∠A+∠ADC=180°，代入∠ADC=90°得∠1+∠A=90°；结合A中结论∠A+∠B=90°，可得∠1=∠B，二者不是互余关系，D说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
余角的定义,直角的性质,同角的余角相等
【点评】
本题是余角相关概念的基础应用题，解题时要结合图形梳理角的和差关系，通过已知直角条件推导角之间的数量关系，逐一排查选项即可得到答案。
【难度系数】
0.8

5. 如图所示,∠AOB = ∠COD = ∠EOF = 90°,则∠1,∠2,∠3 之间的数量关系为( )

A.∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°
B.∠1 + ∠2 - ∠3 = 90°
C.∠2 + ∠3 - ∠1 = 90°
D.∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°

D

【分析】
解题时先利用已知的直角条件找到互余的角，再通过等量代换消去中间角，最终推导∠1、∠2、∠3的数量关系。首先从∠AOB=90°可得∠3和∠COB互余，再从∠COD=90°得到∠COB、∠2、∠DOE的和为90°，联立这两个式子可得到∠3和∠2、∠DOE的关系；最后结合∠EOF=90°得到∠1和∠DOE互余，将∠DOE用含∠1的式子代换后整理即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $∠ AOB=90°$，
∴ $∠ 3 + ∠ COB = 90°$，即$∠ COB = 90° - ∠ 3$ ①。
∵ $∠ COD=90°$，
∴ $∠ COB + ∠ 2 + ∠ DOE = 90°$ ②。
将①代入②，得：$(90° - ∠3) + ∠2 + ∠ DOE = 90°$，
整理得：$∠ DOE = ∠3 - ∠2$ ③。
又
∵ $∠ EOF=90°$，
∴ $∠1 + ∠ DOE = 90°$ ④。
将③代入④，得：$∠1 + (∠3 - ∠2) = 90°$，
即 $∠1 - ∠2 + ∠3 = 90°$。
【答案】
D
【知识点】
直角的定义，余角的性质，等量代换
【点评】
本题侧重考查角度的和差推导，解题核心是找准中间角作为关联各个角的桥梁，需要仔细观察图形中角的组成，避免混淆不同角的和差关系。
【难度系数】
0.7

6. 已知∠1 和∠2 互为余角,∠2 和∠3 互为补角,∠1 = 20°,则∠3 = ____.

110°

【分析】
解题时先回忆余角、补角的定义：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。已知∠1的度数，第一步先通过∠1和∠2的余角关系求出∠2的度数，再通过∠2和∠3的补角关系，就能求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵ ∠1和∠2互为余角，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
又
∵ ∠1 = 20°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 20° = 70°，
∵ ∠2和∠3互为补角，
∴ ∠2 + ∠3 = 180°，
∴ ∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 70° = 110°。
【答案】
110°
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查余角和补角定义的直接应用，只要牢记互余两角和为90°、互补两角和为180°，代入数值计算即可，解题逻辑简单，计算量小。
【难度系数】
0.9

1. 若∠α 与∠β 互补,且∠α = 3∠β,则∠β 等于( )

A.22°30′
B.22°50′
C.25°
D.45°

D

【分析】
解题时首先回忆补角的定义：如果两个角互补，那么这两个角的和为180°。结合题目给出的∠α和∠β的倍数关系，我们可以把∠α用∠β替换，代入两角和的等式中，建立只含∠β的等式，计算就能得到∠β的度数。
【解析】
∵ ∠α与∠β互补，根据补角的定义可得：
$∠α + ∠β = 180°$
又
∵ $∠α = 3∠β$，将其代入上式得：
$3∠β + ∠β = 180°$
合并同类项得：$4∠β = 180°$
解得：$∠β = 180°÷4 = 45°$
故选D
【答案】
D
【知识点】
补角的定义；角度的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查补角性质的应用，解题的关键是牢记互补两角之和为180°，结合题目给出的角的数量关系列式计算即可。
【难度系数】
0.9

2. 如图所示,点O 在直线AB 上,OD 平分∠AOC,∠DOE = 90°,那么下列说法不一定正确的是( )

A.∠2 与∠AOE 互补
B.∠2 与∠3 互余
C.∠1 与∠3 互余
D.∠3 与∠4 相等

A

【分析】
解题时先从已知条件提炼角的关系：①点O在直线AB上，根据平角定义可得∠AOB=180°；②OD平分∠AOC，根据角平分线定义可得∠1=∠2；③∠DOE=90°，可得∠2+∠3=90°。接下来结合余角（和为90°）、补角（和为180°）的定义，逐个验证四个选项，判断哪个结论不必然成立即可。
【解析】
解：根据已知条件推导角的关系：
1. 由点O在直线AB上，得∠AOB=180°；由OD平分∠AOC，得∠1=∠2；由∠DOE=90°，得∠2+∠3=90°。
2. 逐一验证选项：
选项B：∠2+∠3=90°，因此∠2与∠3互余，结论一定正确。
选项C：因为∠1=∠2，∠2+∠3=90°，所以∠1+∠3=90°，因此∠1与∠3互余，结论一定正确。
选项D：因为∠AOB=180°，∠DOE=90°，所以∠1+∠4=180°-∠DOE=90°；又因为∠1+∠3=90°，根据同角的余角相等，可得∠3=∠4，结论一定正确。
选项A：∠AOE=∠1+∠2+∠3=(∠1+∠3)+∠2=90°+∠2，因此∠AOE+∠2=90°+2∠2，只有当∠2=45°时二者和为180°（互补），该关系不是必然成立，因此结论不一定正确。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的定义；余角和补角；平角的定义
【点评】
本题需要先结合已知条件推导各角的数量关系，再结合余角、补角的定义判断选项，解题时注意题干要求选“不一定正确”的选项，避免因审题粗心选错答案。
【难度系数】
0.7

3. 如图所示,将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起,可以推导出∠AOC = ∠DOB,最合理的理由是( )

A.同角的余角相等

B.等角的余角相等
C.同角的补角相等
D.等角的补角相等

A

【分析】
解题时首先观察图形特征，两个直角三角板的直角顶点重合于O，可知∠AOB和∠COD均为90°。接下来分别分析∠AOC、∠DOB与∠COB的数量关系：发现两个角分别与∠COB相加都等于90°，即二者都是∠COB的余角，结合余角的性质即可判断对应的依据。
【解析】
解：由题意得，∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC + ∠COB = 90°，∠DOB + ∠COB = 90°，
即∠AOC和∠DOB都是∠COB的余角，
根据“同角的余角相等”，可得∠AOC=∠DOB，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
余角的性质、直角的定义
【点评】
本题考查余角性质的应用，解题的关键是准确识别两个角的共同余角，明确“同角”和“等角”的区别，属于基础概念类题型。
【难度系数】
0.8

4. (2024·岳阳) 如果一个角与它的余角之比为1:2,那么这个角的补角度数是____.

150°

【分析】
解题时首先明确余角、补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，和为180°则互为补角。我们可以先设这个角的度数为未知数，结合题目给出的角与它余角的比例关系，列方程求出这个角的度数，再根据补角定义计算它的补角即可。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90 - x)°$。
根据题意，这个角与它的余角之比为$1:2$，可得：
$x:(90 - x) = 1:2$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），得：
$2x = 90 - x$
移项合并同类项：$3x = 90$
解得：$x = 30$
根据补角定义，这个角的补角为：$180° - 30° = 150°$
【答案】
$150°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；比例的应用
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是熟练掌握余角、补角的数量关系，结合比例条件列方程求解即可，解题时注意不要混淆余角和补角的和值。
【难度系数】
0.8

5. 一个角的余角比它的补角的$\frac{1}{3}$还少20°,则这个角的大小为____.

75°

【分析】
本题可通过方程思想求解，首先设这个角的度数为未知数，根据余角（两个角的和为90°则两角互余）和补角（两个角的和为180°则两角互补）的定义，分别表示出这个角的余角和补角，再结合题干给出的“余角比补角的$\frac{1}{3}$还少20°”的等量关系列方程，最后解方程即可得到这个角的度数。
【解析】
解：设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$90-x=\frac{1}{3}(180-x)-20$
化简方程右边：
$90-x=60-\frac{1}{3}x-20$
$90-x=40-\frac{1}{3}x$
移项、合并同类项：
$x-\frac{1}{3}x=90-40$
$\frac{2}{3}x=50$
系数化为1：
$x=75$
【答案】
$75°$
【知识点】
余角的定义、补角的定义、一元一次方程的应用
【点评】
本题属于余角、补角相关的常规题型，解题核心是熟练掌握余角和补角的数量关系，准确提取题干中的等量关系建立方程即可求解。
【难度系数】
0.8