三、解决问题
15. 下面的物体是由()个搭成的。请在方格纸上分别画出这个物体从前面、上面和左面看到的图形。

答案略

16. 数一数：图中物体是由几个小正方体组成的？至少再添上几个大小一样的小正方体后可以把该物体补全为长方体呢？

16. 7个；5个。

17. 提升题 下图中的物体都是由相同的小正方体木块摆成的，按照这样的规律摆下去，摆成第5个物体一共需要多少个小正方体木块？

第一个物体：1 + 3 + 1 × 2 ÷ 2 = 1 + 3 + 1 = 5 × 1（实际为 1+2+1+1 = 5 个小正方体，这里从层数角度算为 1 层开始分析规律，每层数量依次相加）。
更准确分析，从层数看，第一个物体有 2 层，底层 3 个，上层 1 个，共 1 + 3 = 4 - 0（这里为找规律表述），实际就是 1+2+1 = 4（个）左右结构算 4 个。
更简便规律：
第 1 个物体：1×(1 + 1)+1×(1 + 1 - 1)=1×2+1×1 = 2 + 1 = 3 + 1 - 0 = 4 - 0 = 4（个）。
直接观察可得：第 1 个物体小正方体个数：1 + 3 = 4（个）。
第 2 个物体：底层 6 个，第二层 3 个，顶层 1 个，共 1+3+6 = 10（个），从层数规律：第 2 个物体：2×(2 + 1)+2×(2 - 1)=2×3+2×1 = 6+2 = 8，8 + 2（顶层和可能少算调整）= 10（个），直接算：1+3+6 = 10（个）。
第 3 个物体：底层 10 个，第四层 6 个，第三层 3 个，顶层 1 个，共 1+3+6+10 = 20（个）。
规律：第 n 个物体小正方体个数：从 1 到 n+1 的自然数依次以 1，2，3...n 为倍数相加再整体求和（这里换更简单规律）。
第 1 个物体：4 = 1×4
第 2 个物体：10 = 2×5
第 3 个物体：20 = 3×(10/1.5 不好，换）
看层数，第 n 个物体有 n + 1 层，从最上层 1 个开始，下面每层依次比上一层多 1，2，3... 个（相对上一层增量）。
第 n 个物体小正方体个数：从 1 加到 n + 1 的和（每层数量依次为 1，2，3...n+1 累加求和公式）。
根据从 1 到 m 的自然数求和公式 S = m(m + 1)/2。
这里第 5 个物体，层数 m = 5+1 = 6 层。
S = 6×(6 + 1)/2 = 6×7/2 = 42/2 = 21 + 15（因为从 1 到 6 求和，1+2+3+4+5+6 = 21 个，这里前面分析物体个数就是这累加和）。
所以摆成第 5 个物体一共需要 35（1+2+3+4+5+6+7 - 前面算层数对应数量和，第 5 个物体对应 6 层，1 到 6 累加 21 错误，重新算）。
第 n 个物体小正方体个数：1+3+6+...+[n(n + 1)/2]（这里每层数量是前几项和形式，换个思路）。
第 1 个物体：4 = 1×(1 + 3)/2×2（不好）。
直接数列：
第 1 个物体：4
第 2 个物体：4+6 = 10
第 3 个物体：10+10 = 20
第 4 个物体：20+15 = 35
第 5 个物体：35+21 = 56 - 21（多减，第 4 个物体比第 3 个物体多底层数量，底层数量规律）。
底层数量：第 1 个物体底层 3 个，第 2 个物体底层 6 个，第 3 个物体底层 10 个，第 4 个物体底层 15 个，第 5 个物体底层 21 个。
那么第 n 个物体小正方体个数：从第 1 个到第 n 个物体，把每个物体底层数量相加（因为每个物体就是在前一个物体基础上加一层底层）。
第 1 个物体：底层 3 = 1×3
第 2 个物体：底层 6 = 2×3
第 3 个物体：底层 10 = 不对，底层数量：第 1 个：3，第 2 个：3+3 = 6，第 3 个：6+4 = 10，第 4 个：10+5 = 15，第 5 个：15+6 = 21。
底层数量规律：第 n 个物体底层小正方体个数：3+(n - 1)×(3+ (n - 1 - 1)×1/2 不好）。
底层数量：第 n 个物体底层：n(n + 2)/2（验证：n = 1，1×3/2 不对，n(n + 2)/2 计算 n = 1，1×3/2 不是整数，错误）。
底层数量：从 3 开始，每次增加的数依次多 1，是首项 3，公差为 1 的递增数列求第 n 项。
第 n 个物体底层小正方体个数：3+(n - 1)×1+(0+1+...+(n - 2)) 复杂。
直接看物体总个数：
第 1 个物体：4
第 2 个物体：4+6 = 10
第 3 个物体：10+10 = 20
第 4 个物体：20+15 = 35
第 5 个物体：35+21 = 56
底层数量：第 5 个物体底层 21 个，总个数就是前面所有物体底层个数之和（因为每个新物体就是在前一个物体上加一层底层）。
第 1 个物体总个数：4
第 2 个物体总个数：4+6 = 10
第 3 个物体总个数：10+10 = 20
第 4 个物体总个数：20+15 = 35
第 5 个物体总个数：35+21 = 56
底层数量规律：第 n 个物体底层个数：n(n + 2)/2 计算（n = 1，1×3/2 错，重新找）。
底层个数：第 1 个：3 = 3×1
第 2 个：6 = 3×2
第 3 个：10 = 5×2 不对，底层个数：3，6，10，15，21，相邻差 3，4，5，6 是等差数列。
底层个数第 n 个：3+3+4+...+(n + 1) 不好。
底层个数：从 1 到 n+1 求和再减 1 等 不好。
直接总个数：
第 n 个物体总个数：1×4/2×2 不好。
总个数：第 n 个物体：n(n + 1)(n + 2)/6×2 不好。
总个数规律：
第 1 个：4 = 1×4
第 2 个：10 = 2×5
第 3 个：20 = 3×(20/3) 不对，第 3 个 20 = 4×5
第 4 个：35 = 5×7
第 5 个：应该是 6×8 = 48 错误，第 4 个 35 不是 5×7 = 35 对，但第 5 个 6×8 = 48 错，因为第 3 个 20 不是 3×7 = 21 错。
总个数：第 n 个物体： (n + 1)(n + 2)(n + 3)/6 × 2 不好。
重新算总个数：
第 1 个物体：1+3 = 4
第 2 个物体：1+3+6 = 10
第 3 个物体：1+3+6+10 = 20
第 4 个物体：1+3+6+10+15 = 35
第 5 个物体：1+3+6+10+15+21 = 56
底层数量依次为：3，6，10，15，21 是第 n 个底层个数：n(n + 2)/2 计算（n = 1，1×3/2 错，实际底层个数：第 n 个底层个数： (n + 1)(n + 2)/2 - 1 错）。
底层个数：第 n 个底层个数： (n + 1)(n + 2)/2 - 1 计算 n = 1，(2×3)/2 - 1 = 3 - 1 = 2 错。
直接总个数：
第 n 个物体总个数：从 1 加到 (n + 1)(n + 2)/2 不好。
总个数：第 n 个物体总个数： (n + 1)(n + 2)(n + 3)/6
验证：n = 1，(2×3×4)/6 = 24/6 = 4 正确
n = 2，(3×4×5)/6 = 60/6 = 10 正确
n = 3，(4×5×6)/6 = 120/6 = 20 正确
n = 4，(5×6×7)/6 = 210/6 = 35 正确
n = 5，(6×7×8)/6 = 336/6 = 56
所以摆成第 5 个物体一共需要 35 + 21 = 56 个小正方体木块（或直接公式 (6×7×8)/6 = 56 个）。
答：摆成第 5 个物体一共需要 56 个小正方体木块。