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一、选择题
1. 下列二次根式中，最简二次根式是()
A. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B. $\sqrt{7}$
C. $\sqrt{8}$
D. $\sqrt{12}$
1. 下列二次根式中，最简二次根式是()
A. $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
B. $\sqrt{7}$
C. $\sqrt{8}$
D. $\sqrt{12}$
答案
B
解析
最简二次根式需满足两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因母；2. 被开方数的因数是整数，因式是整式。
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数是分数，不是整数，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式。
选项B：$\sqrt{7}$，7是质数，无法再分解，是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
选项A：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$，被开方数是分数，不是整数，化简后为$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，不是最简二次根式。
选项B：$\sqrt{7}$，7是质数，无法再分解，是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{8} = \sqrt{4 × 2} = 2\sqrt{2}$，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
2. 若二次根式$\sqrt{x - 3}$有意义，则$x$的取值范围是()
A.$x ＞ 3$
B.$x ≥ 3$
C.$x ＜ 3$
D.$x ≤ 3$
A.$x ＞ 3$
B.$x ≥ 3$
C.$x ＜ 3$
D.$x ≤ 3$
答案
B
解析
根据二次根式的定义，被开方数必须大于或等于零，即$x - 3 ≥ 0$，解这个不等式得到$x ≥ 3$。
3. 如图，$D$，$E$分别是$△ ABC$的边$AB$，$AC$上的中点. 若$△ ADE$的周长是$10$，则$△ ABC$的周长是()
A.$10$
B.$15$
C.$18$
D.$20$
A.$10$
B.$15$
C.$18$
D.$20$
答案
D
解析
∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=1/2BC，AD=1/2AB，AE=1/2AC。∵△ADE的周长=AD+AE+DE=10，∴1/2AB + 1/2AC + 1/2BC = 10，即1/2(AB+AC+BC)=10，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=20。
4. 在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$. 下列条件不能说明$△ ABC$是直角三角形的是()
A.$b^{2} - c^{2} = a^{2}$
B.$a : b : c = 5 : 12 : 13$
C.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$
D.$∠ C = ∠ A - ∠ B$
A.$b^{2} - c^{2} = a^{2}$
B.$a : b : c = 5 : 12 : 13$
C.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$
D.$∠ C = ∠ A - ∠ B$
答案
C
解析
A. $b^2 - c^2 = a^2$ 可变形为 $b^2 = a^2 + c^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
B. 设 $a=5k$，$b=12k$，$c=13k$，则 $a^2 + b^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2 = c^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
C. 设 $∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=5x$，则 $3x + 4x + 5x = 180°$，解得 $x=15°$，$∠C=75°$，最大角不是直角，不是直角三角形。
D. $∠C = ∠A - ∠B$，且 $∠A + ∠B + ∠C = 180°$，可得 $∠A = 90°$，是直角三角形。
B. 设 $a=5k$，$b=12k$，$c=13k$，则 $a^2 + b^2 = 25k^2 + 144k^2 = 169k^2 = c^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
C. 设 $∠A=3x$，$∠B=4x$，$∠C=5x$，则 $3x + 4x + 5x = 180°$，解得 $x=15°$，$∠C=75°$，最大角不是直角，不是直角三角形。
D. $∠C = ∠A - ∠B$，且 $∠A + ∠B + ∠C = 180°$，可得 $∠A = 90°$，是直角三角形。
5. 如图，将三角尺$ABC$沿边$BC$所在直线平移后得到$△ DCE$，连接$AD$，$AE$. 下列结论错误的是()
A.$△ ABE$是等腰三角形
B.四边形$ABCD$是平行四边形
C.四边形$ACED$是矩形
D.四边形$ABCD$是菱形
A.$△ ABE$是等腰三角形
B.四边形$ABCD$是平行四边形
C.四边形$ACED$是矩形
D.四边形$ABCD$是菱形
答案
D
解析
由平移性质得AD//BC且AD=BC，故四边形ABCD是平行四边形（B正确），不一定是菱形（D错误）；△ABC≌△DCE，得AC=DE，AC//DE，故四边形ACED是平行四边形，又∠ACB=90°（三角尺为直角三角尺），∠ACE=180°-90°=90°，故ACED是矩形（C正确）；矩形ACED中AE=CD，又CD=AB，故AE=AB，△ABE是等腰三角形（A正确）。
6. 提升题 如图，菱形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$交于点$O$，过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$，连接$OE$. 若$AB = 10$，$OE = 6$，则菱形$ABCD$的面积为()
A.$48$
B.$60$
C.$96$
D.$192$
A.$48$
B.$60$
C.$96$
D.$192$
答案
C
解析
∵菱形$ABCD$，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，∴$O$为$BD$中点，$AC⊥BD$，$AB=AD=10$。
∵$DE⊥AB$，∴$△ DEB$为直角三角形。
∵$O$为$BD$中点，∴$OE$为$Rt△ DEB$斜边$BD$的中线，∴$OE=\frac{1}{2}BD$。
∵$OE=6$，∴$BD=2OE=12$，则$BO=\frac{1}{2}BD=6$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=10$，$BO=6$，由勾股定理得$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，∴$AC=2AO=16$。
菱形面积$=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×16×12=96$。
∵$DE⊥AB$，∴$△ DEB$为直角三角形。
∵$O$为$BD$中点，∴$OE$为$Rt△ DEB$斜边$BD$的中线，∴$OE=\frac{1}{2}BD$。
∵$OE=6$，∴$BD=2OE=12$，则$BO=\frac{1}{2}BD=6$。
在$Rt△ AOB$中，$AB=10$，$BO=6$，由勾股定理得$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，∴$AC=2AO=16$。
菱形面积$=\frac{1}{2}AC· BD=\frac{1}{2}×16×12=96$。
二、填空题
7. 当$a = - 1$时，二次根式$\sqrt{13 + a}$的值是.
7. 当$a = - 1$时，二次根式$\sqrt{13 + a}$的值是.
答案
$2\sqrt{3}$
解析
当$a = -1$时，将$a$代入二次根式$\sqrt{13 + a}$可得：
$\sqrt{13 + (-1)} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
$\sqrt{13 + (-1)} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$
8. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$. 若$∠ BAC = 30^{\circ}$，$∠ BCA = 15^{\circ}$，则$∠ ADC$的度数为.
答案
135°
解析
在△ABC中，∠BAC=30°，∠BCA=15°，根据三角形内角和定理，∠ABC=180°-30°-15°=135°。因为四边形ABCD是平行四边形，所以∠ADC=∠ABC=135°。
9. 如图，在$□ ABCD$中，添加一个条件后，$□ ABCD$是矩形.
答案
∠A=90°（或AC=BD等，答案不唯一）
解析
因为四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以添加条件∠A=90°（或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°）；或者根据对角线相等的平行四边形是矩形，添加条件AC=BD。
