登录
1. 已知 □ABCD，请再添加一个条件，使 □ABCD 成为矩形，则可添加的条件是(写出一种即可).
答案
$AC=BD$（答案不唯一）
解析
矩形的定义是有一个角是直角的平行四边形是矩形，或者根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形。所以在平行四边形 $ABCD$的基础上，可以添加一个角是直角或者对角线相等的条件。
2. 工人师傅常常通过测量平行四边形零件的对角线是否相等来检验零件是否为矩形，请问工人师傅此种检验方法依据的道理是.
答案
对角线相等的平行四边形是矩形
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，P 为 AB 上任意一点，PF ⊥ AC 于点 F，PE ⊥ BC 于点 E，则 EF 的最小值是.
答案
4.8
解析
由题意知，在直角三角形 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C=90° $，$ AC=6 $，$ BC=8 $。
根据勾股定理，可以求出 $ AB $：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$，
$ P $ 为 $ AB $ 上任意一点，$ PF ⊥ AC $ 于点 $ F $，$ PE ⊥ BC $ 于点 $ E $。
因此，$ PF // BC $，$ PE // AC $，所以 $ PF $ 和 $ PE $ 分别是 $ △ ABC $ 的高。
设 $ AP = x $，则 $ PB = 10 - x $。
根据相似三角形，可以得到：
$ \frac{PF}{BC} = \frac{AP}{AB} \implies \frac{PF}{8} = \frac{x}{10} \implies PF = \frac{8x}{10} = 0.8x $，
$ \frac{PE}{AC} = \frac{PB}{AB} \implies \frac{PE}{6} = \frac{10 - x}{10} \implies PE = \frac{6(10 - x)}{10} = 6 - 0.6x $，
在直角三角形 $ △ PEF $ 中，$ ∠ PFE=90°$，利用勾股定理求 $ EF $：
$ EF = \sqrt{PF^2 + PE^2} = \sqrt{(0.8x)^2 + (6 - 0.6x)^2} $
$ = \sqrt{0.64x^2 + (36 - 7.2x + 0.36x^2)} $
$ = \sqrt{x^2 - 7.2x + 36} $
$ = \sqrt{x^2 - 7.2x + 36} $
最小值问题可以转化为求二次函数的最小值。
设 $ f(x) = x^2 - 7.2x + 36 $，求其最小值：
$ f'(x) = 2x - 7.2 = 0 \implies x = 3.6 $，
代入 $ x = 3.6 $：
$ f(3.6) = (3.6)^2 - 7.2 × 3.6 + 36 = 12.96 - 25.92 + 36 = 23.04 $，
$ EF = \sqrt{23.04} = 4.8 $。
根据勾股定理，可以求出 $ AB $：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$，
$ P $ 为 $ AB $ 上任意一点，$ PF ⊥ AC $ 于点 $ F $，$ PE ⊥ BC $ 于点 $ E $。
因此，$ PF // BC $，$ PE // AC $，所以 $ PF $ 和 $ PE $ 分别是 $ △ ABC $ 的高。
设 $ AP = x $，则 $ PB = 10 - x $。
根据相似三角形，可以得到：
$ \frac{PF}{BC} = \frac{AP}{AB} \implies \frac{PF}{8} = \frac{x}{10} \implies PF = \frac{8x}{10} = 0.8x $，
$ \frac{PE}{AC} = \frac{PB}{AB} \implies \frac{PE}{6} = \frac{10 - x}{10} \implies PE = \frac{6(10 - x)}{10} = 6 - 0.6x $，
在直角三角形 $ △ PEF $ 中，$ ∠ PFE=90°$，利用勾股定理求 $ EF $：
$ EF = \sqrt{PF^2 + PE^2} = \sqrt{(0.8x)^2 + (6 - 0.6x)^2} $
$ = \sqrt{0.64x^2 + (36 - 7.2x + 0.36x^2)} $
$ = \sqrt{x^2 - 7.2x + 36} $
$ = \sqrt{x^2 - 7.2x + 36} $
最小值问题可以转化为求二次函数的最小值。
设 $ f(x) = x^2 - 7.2x + 36 $，求其最小值：
$ f'(x) = 2x - 7.2 = 0 \implies x = 3.6 $，
代入 $ x = 3.6 $：
$ f(3.6) = (3.6)^2 - 7.2 × 3.6 + 36 = 12.96 - 25.92 + 36 = 23.04 $，
$ EF = \sqrt{23.04} = 4.8 $。
4. 如图，□ABCD 地块的周长为 56 m，四边形 DEFG 为种植花卉区域，DE ⊥ AB 于点 E，点 F，G 分别在边 EB，CD 上，且 AE + FB = GC. 求证：四边形 DEFG 是矩形.
答案
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD。
∵DE⊥AB，
∴∠DEF=90°。
设AE=a，FB=b，EF=c，
∵AE+FB=GC，
∴GC=a+b。
∵F在EB上，
∴EB=EF+FB=c+b，
∴AB=AE+EB=a+(c+b)=a+b+c。
∵AB=CD，
∴CD=a+b+c，
∴DG=CD-GC=(a+b+c)-(a+b)=c，
即DG=EF。
∵AB//CD，EF⊂AB，DG⊂CD，
∴EF//DG。
∵EF//DG且EF=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形。
又∵∠DEF=90°，
∴平行四边形DEFG是矩形。
综上，四边形DEFG是矩形。
∴AB=CD，AB//CD。
∵DE⊥AB，
∴∠DEF=90°。
设AE=a，FB=b，EF=c，
∵AE+FB=GC，
∴GC=a+b。
∵F在EB上，
∴EB=EF+FB=c+b，
∴AB=AE+EB=a+(c+b)=a+b+c。
∵AB=CD，
∴CD=a+b+c，
∴DG=CD-GC=(a+b+c)-(a+b)=c，
即DG=EF。
∵AB//CD，EF⊂AB，DG⊂CD，
∴EF//DG。
∵EF//DG且EF=DG，
∴四边形DEFG是平行四边形。
又∵∠DEF=90°，
∴平行四边形DEFG是矩形。
综上，四边形DEFG是矩形。
5. 提升题 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°. 将 △ABC 沿 BC 向右平移，使平移的距离等于线段 BE 的长，得到 △DEF. 连接 AF，CD，AD，CE，其中 AF 与 CD 相交于点 O.
(1) 求证：四边形 ACFD 是矩形；
(2) 若 AB = 3，OC = 2，BF = 5，求线段 EF 的长度.
(1) 求证：四边形 ACFD 是矩形；
(2) 若 AB = 3，OC = 2，BF = 5，求线段 EF 的长度.
答案
(1) 见证明；(2) 9/5。
解析
(1) 证明：由平移性质得，AC=DF，AC//DF，∠ACB=∠DFE=90°。
∵AC//DF且AC=DF，∴四边形ACFD是平行四边形。
∵∠ACB=90°，点C，F在直线BC上，∴∠ACF=90°。
∴平行四边形ACFD是矩形。
(2) 设BC=EF=x，CF=BE=m。
∵BF=BC+CF=5，∴x+m=5，即m=5-x。
∵四边形ACFD是矩形，∴AF=CD，OC=OD=OA=OF=2，∴AF=4。
在Rt△ACF中，AC²+CF²=AF²，即AC²+m²=16。
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，AB=3，即AC²+x²=9。
∴16 - m²=9 - x²，将m=5 - x代入得：16 - (5 - x)²=9 - x²。
展开得16 - (25 - 10x + x²)=9 - x²，化简得34 - 10x=16，解得x=9/5。
∴EF=9/5。
∵AC//DF且AC=DF，∴四边形ACFD是平行四边形。
∵∠ACB=90°，点C，F在直线BC上，∴∠ACF=90°。
∴平行四边形ACFD是矩形。
(2) 设BC=EF=x，CF=BE=m。
∵BF=BC+CF=5，∴x+m=5，即m=5-x。
∵四边形ACFD是矩形，∴AF=CD，OC=OD=OA=OF=2，∴AF=4。
在Rt△ACF中，AC²+CF²=AF²，即AC²+m²=16。
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，AB=3，即AC²+x²=9。
∴16 - m²=9 - x²，将m=5 - x代入得：16 - (5 - x)²=9 - x²。
展开得16 - (25 - 10x + x²)=9 - x²，化简得34 - 10x=16，解得x=9/5。
∴EF=9/5。
