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1. 若一组数据为 $1,1,2,2,4$，则数据“$4$”与该组数据平均数的离差是。
答案
$2$
解析
首先，计算该组数据的平均数。给定的数据是$1,1,2,2,4$，平均数为$\bar{x} = \frac{1+1+2+2+4}{5} = \frac{10}{5} = 2$，
离差是数据与平均数的差，因此数据$4$与平均数$2$的离差为$4 - 2 = 2$。
离差是数据与平均数的差，因此数据$4$与平均数$2$的离差为$4 - 2 = 2$。
2. 下图是甲、乙两人 $5$ 次投篮成绩统计图(每人每次投球 $10$ 个). 若甲、乙 $5$ 次成绩的方差分别为 $s_{甲}^{2},s_{乙}^{2}$，则 $s_{甲}^{2}$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)$s_{乙}^{2}$。
答案
＜
解析
甲的成绩：8,7,8,9,8；乙的成绩：7,10,6,7,10。
甲的平均数：$\bar{x}_{甲}=\frac{8+7+8+9+8}{5}=8$；乙的平均数：$\bar{x}_{乙}=\frac{7+10+6+7+10}{5}=8$。
甲的方差：$s_{甲}^{2}=\frac{(8-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2}{5}=\frac{0+1+0+1+0}{5}=0.4$；
乙的方差：$s_{乙}^{2}=\frac{(7-8)^2+(10-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2+(10-8)^2}{5}=\frac{1+4+4+1+4}{5}=2.8$。
$0.4＜2.8$，故$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$。
甲的平均数：$\bar{x}_{甲}=\frac{8+7+8+9+8}{5}=8$；乙的平均数：$\bar{x}_{乙}=\frac{7+10+6+7+10}{5}=8$。
甲的方差：$s_{甲}^{2}=\frac{(8-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(8-8)^2}{5}=\frac{0+1+0+1+0}{5}=0.4$；
乙的方差：$s_{乙}^{2}=\frac{(7-8)^2+(10-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2+(10-8)^2}{5}=\frac{1+4+4+1+4}{5}=2.8$。
$0.4＜2.8$，故$s_{甲}^{2}＜s_{乙}^{2}$。
3. 数据：$2,0,-2,4$ 的离差平方和为。
答案
20
解析
首先，计算数据$2, 0, -2, 4$的平均数。
平均数为$\frac{2 + 0 + (-2) + 4}{4} = \frac{4}{4} = 1$，
接着，计算每个数据与平均数的差（即离差），并求这些离差的平方。
$(2 - 1)^{2} = 1$，
$(0 - 1)^{2} = 1$，
$(-2 - 1)^{2} = 9$，
$(4 - 1)^{2} = 9$，
最后，求这些离差平方的和：
$1 + 1 + 9 + 9 = 20$。
平均数为$\frac{2 + 0 + (-2) + 4}{4} = \frac{4}{4} = 1$，
接着，计算每个数据与平均数的差（即离差），并求这些离差的平方。
$(2 - 1)^{2} = 1$，
$(0 - 1)^{2} = 1$，
$(-2 - 1)^{2} = 9$，
$(4 - 1)^{2} = 9$，
最后，求这些离差平方的和：
$1 + 1 + 9 + 9 = 20$。
4. 已知一组数据：$x_{1},x_{2},x_{3},···,x_{8}$，小明用 $s^{2}=\frac{1}{8}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+···+(x_{8}-5)^{2}]$ 计算这组数据的方差，那么 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+···+x_{8}=$。
答案
40
解析
根据方差公式$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+···+(x_{n}-\bar{x})^{2}]$，其中$n$是数据个数，$\bar{x}$是这组数据的平均数。
已知$s^{2}=\frac{1}{8}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+···+(x_{8}-5)^{2}]$，所以这组数据的平均数$\bar{x} = 5$。
根据平均数的计算公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}$，可得$x_{1}+x_{2}+··· +x_{8}=n\bar{x}$，把$n = 8$，$\bar{x}=5$代入得$x_{1}+x_{2}+··· +x_{8}=8×5 = 40$。
已知$s^{2}=\frac{1}{8}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+···+(x_{8}-5)^{2}]$，所以这组数据的平均数$\bar{x} = 5$。
根据平均数的计算公式$\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+··· +x_{n}}{n}$，可得$x_{1}+x_{2}+··· +x_{8}=n\bar{x}$，把$n = 8$，$\bar{x}=5$代入得$x_{1}+x_{2}+··· +x_{8}=8×5 = 40$。
5. 为了弘扬中华优秀传统文化，某班开展了古诗词背诵竞赛，满分 $10$ 分. 现从 $40$ 名同学中随机抽取 $5$ 名同学的得分，得到如下数据：$6,6,8,10,10$。该样本的方差为。
答案
（此处假设是填空题直接填答案）3.2。
解析
首先计算这组数据的平均数，再根据方差公式计算方差。
1. 计算平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{6 + 6+8 + 10+10}{5}=\frac{40}{5}=8$。
2. 计算方差$s^{2}$：
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中$n = 5$，$x_1 = 6$，$x_2 = 6$，$x_3 = 8$，$x_4 = 10$，$x_5 = 10$，$\overline{x}=8$。
$s^{2}=\frac{1}{5}[(6 - 8)^{2}+(6 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+2^{2}+2^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 4+0+4+4)$
$=\frac{1}{5}×16$
$ = 3.2$。
1. 计算平均数$\overline{x}$：
$\overline{x}=\frac{6 + 6+8 + 10+10}{5}=\frac{40}{5}=8$。
2. 计算方差$s^{2}$：
根据方差公式$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中$n = 5$，$x_1 = 6$，$x_2 = 6$，$x_3 = 8$，$x_4 = 10$，$x_5 = 10$，$\overline{x}=8$。
$s^{2}=\frac{1}{5}[(6 - 8)^{2}+(6 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}]$
$=\frac{1}{5}[(-2)^{2}+(-2)^{2}+0^{2}+2^{2}+2^{2}]$
$=\frac{1}{5}(4 + 4+0+4+4)$
$=\frac{1}{5}×16$
$ = 3.2$。
6. 某校举办诵读比赛，设定满分为 $8$ 分，学生得分均为整数. 在初赛中，甲、乙两组(每组 $8$ 人)学生的成绩如下(单位：分)：
甲组：$4,5,5,5,6,7,8,8$。
乙组：$5,5,6,6,6,6,7,7$。
(1) 以上成绩统计分析表中，$a=$；$b=$。
(2) 从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加与外校的比赛，应选哪个组？请说明理由。
甲组：$4,5,5,5,6,7,8,8$。
乙组：$5,5,6,6,6,6,7,7$。
(1) 以上成绩统计分析表中，$a=$；$b=$。
(2) 从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加与外校的比赛，应选哪个组？请说明理由。
答案
(1)
$a=5.5$（或（按数值大小排序后第四、五位的平均值$\frac{5+6}{2}=5.5$）），
$b=6$。
(2)
平均数：甲组和乙组平均数相同，均为$6$。
方差：甲组方差为$2$，乙组方差为$s_{乙}^2$，
由定义计算乙组方差：
$s_{乙}^2 = \frac{1}{8} × [2 × (5-6)^2 + 4× (6-6)^2 + 2× (7-6)^2] = \frac{1}{2}$，
$\because \frac{1}{2}＜2$，
$\therefore$ 乙组方差小于甲组方差。
选择乙组，因为乙组方差较小，成绩较为稳定。
$a=5.5$（或（按数值大小排序后第四、五位的平均值$\frac{5+6}{2}=5.5$）），
$b=6$。
(2)
平均数：甲组和乙组平均数相同，均为$6$。
方差：甲组方差为$2$，乙组方差为$s_{乙}^2$，
由定义计算乙组方差：
$s_{乙}^2 = \frac{1}{8} × [2 × (5-6)^2 + 4× (6-6)^2 + 2× (7-6)^2] = \frac{1}{2}$，
$\because \frac{1}{2}＜2$，
$\therefore$ 乙组方差小于甲组方差。
选择乙组，因为乙组方差较小，成绩较为稳定。
