1. 已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且这三边长满足(a−3)²+√{b−4}+|c−5|=0，则△ABC 的形状是.

直角三角形

因为$(a - 3)^2 ≥ 0$，$\sqrt{b - 4} ≥ 0$，$|c - 5| ≥ 0$，且$(a - 3)^2 + \sqrt{b - 4} + |c - 5| = 0$，所以$a - 3 = 0$，$b - 4 = 0$，$c - 5 = 0$，解得$a = 3$，$b = 4$，$c = 5$。又因为$3^2 + 4^2 = 5^2$，所以$△ ABC$是直角三角形。

2. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口 O，航行的速度都是 40 m/min，甲客轮用 15 min 到达点 A，乙客轮用 20 min 到达点 B.若 A，B 两点的直线距离为 1 000 m，甲客轮沿着北偏东 30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是.

1. 计算OA和OB的长度：
甲客轮航行距离：$OA = 40 \, \mathrm{m/min} × 15 \, \mathrm{min} = 600 \, \mathrm{m}$；
乙客轮航行距离：$OB = 40 \, \mathrm{m/min} × 20 \, \mathrm{min} = 800 \, \mathrm{m}$。
2. 验证△OAB为直角三角形：
因为$OA^2 + OB^2 = 600^2 + 800^2 = 360000 + 640000 = 1000000 = 1000^2 = AB^2$，
由勾股定理逆定理得∠AOB = 90°。
3. 确定乙客轮航行方向：
甲客轮方向为北偏东30°，即OA与正北方向夹角30°。
因∠AOB = 90°，故OB与正北方向夹角为$90° - 30° = 60°$，且乙客轮与甲客轮方向相反，
所以乙客轮航行方向为北偏西60°。
北偏西60°

3. 如图，若 AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，∠ACB=90°，则阴影部分的面积为.

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
由勾股定理得：AB²=AC²+BC²=4²+3²=25，∴AB=5。
在△ABD中，AB=5，BD=12，AD=13，
∵AB²+BD²=5²+12²=25+144=169=13²=AD²，
∴△ABD是直角三角形，且∠ABD=90°。
阴影部分面积=S△ABD - S△ACB，
S△ABD=1/2×AB×BD=1/2×5×12=30，
S△ACB=1/2×AC×BC=1/2×4×3=6，
∴阴影部分面积=30 - 6=24。
24

4. 如图，A，B，C，D，E 都是 2×4 的正方形网格图上的格点，则∠BAC−∠BDE=.

45°

解：
1. 建立坐标系并确定各点坐标：设网格中小正方形边长为1，以A为原点(0,0)，则各点坐标为：A(0,0)，C(1,0)，B(1,2)，E(1,1)，D(4,1)。
2. 计算∠BAC的正切值：
在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
$\tan∠ BAC = \frac{BC}{AC} = \frac{2}{1} = 2$。
3. 计算∠BDE的正切值：
在△BDE中，BE=1（B(1,2)到E(1,1)），DE=3（D(4,1)到E(1,1)），BD=$\sqrt{(4-1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}$。
由勾股定理逆定理：$BE^2 + DE^2 = 1^2 + 3^2 = 10 = BD^2$，故△BDE为直角三角形，∠BED=90°。
$\tan∠ BDE = \frac{BE}{DE} = \frac{1}{3}$。
4. 计算∠BAC - ∠BDE：
设α=∠BAC，β=∠BDE，由两角差的正切公式：
$\tan(α - β) = \frac{\tanα - \tanβ}{1 + \tanα\tanβ} = \frac{2 - \frac{1}{3}}{1 + 2×\frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{3}} = 1$。
因为$\tan45°=1$，所以α - β=45°，即∠BAC - ∠BDE=45°。

5. 超市购物车的侧面简化示意图如图.若测得支架 AC=80 cm，CB=60 cm，两轮中心的距离 AB=100 cm，则点 C 到 AB 的距离为cm.

48

解：
1. 判断△ABC的形状
在△ABC中，AC=80 cm，CB=60 cm，AB=100 cm。
验证：$AC^2 + CB^2 = 80^2 + 60^2 = 6400 + 3600 = 10000$，$AB^2 = 100^2 = 10000$。
因此，$AC^2 + CB^2 = AB^2$，根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
2. 求点C到AB的距离
设点C到AB的距离为h cm。
直角三角形面积公式：$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AC × CB = \frac{1}{2} × AB × h$。
代入数据：$\frac{1}{2} × 80 × 60 = \frac{1}{2} × 100 × h$。
化简得：$2400 = 50h$，解得$h = 48$。

6. 提升题 为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.图①是某社区新建的新能源汽车充电桩，图②为其示意图，其中 CD 为充电桩，BC 和 AC 分别为两侧充电线伸出后的最长距离.已知：在△ABC 中，CD⊥AB 交 AB 于点 D，AC=20，BC=15，CD=12.求证：△ABC 是直角三角形.

证明：
在Rt△ACD中，AC=20，CD=12，
由勾股定理得：AD²=AC²-CD²=20²-12²=400-144=256，
∴AD=16。
在Rt△BCD中，BC=15，CD=12，
由勾股定理得：BD²=BC²-CD²=15²-12²=225-144=81，
∴BD=9。
∴AB=AD+BD=16+9=25。
∵AC²+BC²=20²+15²=400+225=625，AB²=25²=625，
∴AC²+BC²=AB²。
∴△ABC是直角三角形。