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4. 若三角形的一边的长为$\sqrt{12} + \sqrt{3}$，这条边上的高为$2\sqrt{3}$，则此三角形的面积是
$ 9 $
。答案
4. $ 9 $
解析
【解析】
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底边长，$h$为这条边上的高）。
先化简底边长：$\sqrt{12}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
代入公式计算面积：
$S=\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×2\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}×(3\sqrt{3}×2\sqrt{3})$
$=\frac{1}{2}×(6×3)$
$=\frac{1}{2}×18$
$=9$
【答案】
$9$
【知识点】
二次根式的运算，三角形面积公式
【点评】
本题考查三角形面积公式的应用及二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再准确进行计算。
【难度系数】
0.7
根据三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}ah$（其中$a$为底边长，$h$为这条边上的高）。
先化简底边长：$\sqrt{12}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}$。
代入公式计算面积：
$S=\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×2\sqrt{3}$
$=\frac{1}{2}×(3\sqrt{3}×2\sqrt{3})$
$=\frac{1}{2}×(6×3)$
$=\frac{1}{2}×18$
$=9$
【答案】
$9$
【知识点】
二次根式的运算，三角形面积公式
【点评】
本题考查三角形面积公式的应用及二次根式的混合运算，解题关键是先化简二次根式，再准确进行计算。
【难度系数】
0.7
5. 三角形的三条边长分别为$a$，$b$，$c$，其面积$S$可用公式$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$来求，其中$p = \dfrac{1}{2}(a + b + c)$，若一个三角形的三边长分别为$2$，$3$，$4$，则用上述公式可求得其面积为
$ \frac { 3 \sqrt { 15 } } { 4 } $
。答案
5. $ \frac { 3 \sqrt { 15 } } { 4 } $
解析
【解析】
1. 先计算半周长$p$：
$p = \dfrac{1}{2}(2 + 3 + 4) = \dfrac{9}{2}$
2. 将$p$、$a=2$、$b=3$、$c=4$代入海伦公式：
$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{\dfrac{9}{2} × (\dfrac{9}{2} - 2) × (\dfrac{9}{2} - 3) × (\dfrac{9}{2} - 4)}$
3. 计算括号内各项：
$\dfrac{9}{2} - 2 = \dfrac{5}{2}$，$\dfrac{9}{2} - 3 = \dfrac{3}{2}$，$\dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{1}{2}$
4. 计算乘积并化简二次根式：
$S = \sqrt{\dfrac{9}{2} × \dfrac{5}{2} × \dfrac{3}{2} × \dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{135}{16}} = \dfrac{3\sqrt{15}}{4}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{15}}{4}$
【知识点】
海伦公式，二次根式化简，分数四则运算
【点评】
本题考查海伦公式的直接应用，同时涉及分数运算与二次根式的化简，计算时需注意运算顺序与根式化简的准确性，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.7
1. 先计算半周长$p$：
$p = \dfrac{1}{2}(2 + 3 + 4) = \dfrac{9}{2}$
2. 将$p$、$a=2$、$b=3$、$c=4$代入海伦公式：
$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt{\dfrac{9}{2} × (\dfrac{9}{2} - 2) × (\dfrac{9}{2} - 3) × (\dfrac{9}{2} - 4)}$
3. 计算括号内各项：
$\dfrac{9}{2} - 2 = \dfrac{5}{2}$，$\dfrac{9}{2} - 3 = \dfrac{3}{2}$，$\dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{1}{2}$
4. 计算乘积并化简二次根式：
$S = \sqrt{\dfrac{9}{2} × \dfrac{5}{2} × \dfrac{3}{2} × \dfrac{1}{2}} = \sqrt{\dfrac{135}{16}} = \dfrac{3\sqrt{15}}{4}$
【答案】
$\dfrac{3\sqrt{15}}{4}$
【知识点】
海伦公式，二次根式化简，分数四则运算
【点评】
本题考查海伦公式的直接应用，同时涉及分数运算与二次根式的化简，计算时需注意运算顺序与根式化简的准确性，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.7
6. 先化简，再求值：$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) - a(a - \sqrt{5})$，其中$a = \sqrt{5} + \dfrac{1}{2}$。
答案
$ \sqrt{5}a - 3$，$ 2 + \frac{\sqrt{5}}{2}$
解析
【解析】
1. 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) = a^2 - 3$，$a(a - \sqrt{5}) = a^2 - \sqrt{5}a$；
2. 去括号并合并同类项：
原式$=a^2 - 3 - a^2 + \sqrt{5}a = \sqrt{5}a - 3$；
3. 代入$a = \sqrt{5} + \dfrac{1}{2}$求值：
$\sqrt{5}(\sqrt{5} + \dfrac{1}{2}) - 3 = 5 + \dfrac{\sqrt{5}}{2} - 3 = 2 + \dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
化简结果：$\boldsymbol{\sqrt{5}a - 3}$；求值结果：$\boldsymbol{2 + \dfrac{\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，需熟练掌握平方差公式及整式运算法则，代入计算时注意运算准确性。
【难度系数】
0.6
1. 利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开：
$(a - \sqrt{3})(a + \sqrt{3}) = a^2 - 3$，$a(a - \sqrt{5}) = a^2 - \sqrt{5}a$；
2. 去括号并合并同类项：
原式$=a^2 - 3 - a^2 + \sqrt{5}a = \sqrt{5}a - 3$；
3. 代入$a = \sqrt{5} + \dfrac{1}{2}$求值：
$\sqrt{5}(\sqrt{5} + \dfrac{1}{2}) - 3 = 5 + \dfrac{\sqrt{5}}{2} - 3 = 2 + \dfrac{\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
化简结果：$\boldsymbol{\sqrt{5}a - 3}$；求值结果：$\boldsymbol{2 + \dfrac{\sqrt{5}}{2}}$
【知识点】
平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，需熟练掌握平方差公式及整式运算法则，代入计算时注意运算准确性。
【难度系数】
0.6
7. 我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如$\sqrt{a} · \sqrt{a} = a$，$(\sqrt{5} + \sqrt{2}) × (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3$。课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式。
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
(1)化简：$\dfrac{1}{\sqrt{7} - 2} =$
(2)比较大小：$\sqrt{2025} - \sqrt{2024}\_\_\_\_\_\_\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$；(用“$＞$”“$=$”或“$＜$”填空)
(3)设有理数$a$，$b$满足$\dfrac{a}{\sqrt{2} + 1} + \dfrac{b}{\sqrt{2} - 1} = -6\sqrt{2} + 4$，则$a + b =$
(4)已知$\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 - x} = 2$，求$\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 - x}$的值。
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
(1)化简：$\dfrac{1}{\sqrt{7} - 2} =$
$ \frac { \sqrt { 7 } + 2 } { 3 } $
；(2)比较大小：$\sqrt{2025} - \sqrt{2024}\_\_\_\_\_\_\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$；(用“$＞$”“$=$”或“$＜$”填空)
(3)设有理数$a$，$b$满足$\dfrac{a}{\sqrt{2} + 1} + \dfrac{b}{\sqrt{2} - 1} = -6\sqrt{2} + 4$，则$a + b =$
$ - 6 $
；(4)已知$\sqrt{12 - x} - \sqrt{6 - x} = 2$，求$\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 - x}$的值。
答案
7. (1) $ \frac { \sqrt { 7 } + 2 } { 3 } $ (2) $ ＜ $ (3) $ - 6 $ (4) $ 3 $
解析
【解析】
(1) 对$\dfrac{1}{\sqrt{7} - 2}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}+2$：
$\dfrac{1}{\sqrt{7} - 2}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7}+2)}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{7-4}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}$；
(2) 取两个式子的倒数并有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2025} - \sqrt{2024}}=\sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，$\dfrac{1}{\sqrt{2024} - \sqrt{2023}}=\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
因为$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，所以$\sqrt{2025} - \sqrt{2024}＜\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$；
(3) 对等式左边分母有理化：
$\dfrac{a}{\sqrt{2}+1}=a(\sqrt{2}-1)$，$\dfrac{b}{\sqrt{2}-1}=b(\sqrt{2}+1)$，
合并得：$(a+b)\sqrt{2}+(-a+b)=-6\sqrt{2}+4$，
根据对应系数相等，得$a+b=-6$；
(4) 设$m=\sqrt{12 - x}$，$n=\sqrt{6 - x}$，则$m-n=2$，
$m^2 -n^2=(12 -x)-(6 -x)=6$，
由平方差公式得$(m-n)(m+n)=6$，代入$m-n=2$，得$2(m+n)=6$，
解得$m+n=3$，即$\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 - x}=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}}$；(2) $\boldsymbol{＜}$；(3) $\boldsymbol{-6}$；(4) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式有理化因式的综合应用，涵盖分母有理化、实数大小比较、平方差公式的运用，需熟练掌握二次根式运算性质，通过有理化将根式运算转化为整式运算求解。
【难度系数】
0.6
(1) 对$\dfrac{1}{\sqrt{7} - 2}$分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{7}+2$：
$\dfrac{1}{\sqrt{7} - 2}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7}+2)}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{7-4}=\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}$；
(2) 取两个式子的倒数并有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2025} - \sqrt{2024}}=\sqrt{2025}+\sqrt{2024}$，$\dfrac{1}{\sqrt{2024} - \sqrt{2023}}=\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，
因为$\sqrt{2025}+\sqrt{2024}＞\sqrt{2024}+\sqrt{2023}$，所以$\sqrt{2025} - \sqrt{2024}＜\sqrt{2024} - \sqrt{2023}$；
(3) 对等式左边分母有理化：
$\dfrac{a}{\sqrt{2}+1}=a(\sqrt{2}-1)$，$\dfrac{b}{\sqrt{2}-1}=b(\sqrt{2}+1)$，
合并得：$(a+b)\sqrt{2}+(-a+b)=-6\sqrt{2}+4$，
根据对应系数相等，得$a+b=-6$；
(4) 设$m=\sqrt{12 - x}$，$n=\sqrt{6 - x}$，则$m-n=2$，
$m^2 -n^2=(12 -x)-(6 -x)=6$，
由平方差公式得$(m-n)(m+n)=6$，代入$m-n=2$，得$2(m+n)=6$，
解得$m+n=3$，即$\sqrt{12 - x} + \sqrt{6 - x}=3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{7}+2}{3}}$；(2) $\boldsymbol{＜}$；(3) $\boldsymbol{-6}$；(4) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，实数大小比较
【点评】
本题考查二次根式有理化因式的综合应用，涵盖分母有理化、实数大小比较、平方差公式的运用，需熟练掌握二次根式运算性质，通过有理化将根式运算转化为整式运算求解。
【难度系数】
0.6
