18. 有些代数式具有特殊的结构，利用式子的结构特征，可以简洁地解决问题.我们将 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})$ 与 $(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 称为一对“对偶式”.因为 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^{2}-(\sqrt{b})^{2}=a - b$，可以去掉根号，所以我们常通过构造“对偶式”来解决一些含有根号的问题.
例如，$(\sqrt{15 - x}+\sqrt{3 - x})(\sqrt{15 - x}-\sqrt{3 - x})=(\sqrt{15 - x})^{2}-(\sqrt{3 - x})^{2}=(15 - x)-(3 - x)=12$，所以 $\sqrt{15 - x}+\sqrt{3 - x}$ 与 $\sqrt{15 - x}-\sqrt{3 - x}$ 互为“对偶式”.
(1)$\sqrt{7}-\sqrt{2}$ 的“对偶式”是，$\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x}$ 的“对偶式”是.
(2)已知 $\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x}=2$，其中 $x≤5$.
① $\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x}$ 的“对偶式”的值是.
② 利用“对偶式”的相关知识，求方程 $\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x}=2$ 中 $x$ 的值.

18. (1) $ \sqrt{7} + \sqrt{2} $，$ \sqrt{21 - x} + \sqrt{5 - x} $ (2) ① 8. $ \sqrt{21 - x} - \sqrt{5 - x} $ 的“对偶式”是 $ \sqrt{21 - x} + \sqrt{5 - x} $，而 $ (\sqrt{21 - x} - \sqrt{5 - x})(\sqrt{21 - x} + \sqrt{5 - x}) = (\sqrt{21 - x})^2 - (\sqrt{5 - x})^2 = (21 - x) - (5 - x) = 16 $. $ \because \sqrt{21 - x} - \sqrt{5 - x} = 2 $，$ \therefore \sqrt{21 - x} + \sqrt{5 - x} = 8 $ ② $ \because \sqrt{21 - x} - \sqrt{5 - x} = 2 $，$ \sqrt{21 - x} + \sqrt{5 - x} = 8 $，$ \therefore \sqrt{21 - x} = 5 $，$ \sqrt{5 - x} = 3 $，解得 $ x = - 4 $

【分析】
对于(1)，根据题目中“对偶式”的定义，将原式中的加号与减号互换即可得到对应对偶式；对于(2)①，利用对偶式相乘的平方差公式计算出乘积，结合已知式子的值可求出对偶式的值；对于(2)②，联立已知式子和对偶式的值，通过相加、相减分别求出含根号的式子的值，再平方求解x，最后验证x的合理性。
【解析】
(1) 根据“对偶式”的定义：
$\sqrt{7}-\sqrt{2}$的“对偶式”是$\sqrt{7}+\sqrt{2}$；
$\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x}$的“对偶式”是$\sqrt{21 - x}+\sqrt{5 - x}$。
(2) ① 计算对偶式的乘积：
$(\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x})(\sqrt{21 - x}+\sqrt{5 - x})=(\sqrt{21 - x})^2-(\sqrt{5 - x})^2=(21 - x)-(5 - x)=16$
已知$\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x}=2$，则$\sqrt{21 - x}+\sqrt{5 - x}=16÷2=8$。
② 联立方程：
$\begin{cases}\sqrt{21 - x}-\sqrt{5 - x}=2&(1)\\\sqrt{21 - x}+\sqrt{5 - x}=8&(2)\end{cases}$
$(1)+(2)$得：$2\sqrt{21 - x}=10$，即$\sqrt{21 - x}=5$
两边平方得：$21 - x=25$，解得$x=-4$
$(2)-(1)$得：$2\sqrt{5 - x}=6$，即$\sqrt{5 - x}=3$
两边平方得：$5 - x=9$，解得$x=-4$
验证：当$x=-4$时，$21 - x=25＞0$，$5 - x=9＞0$，符合$x≤5$的条件，故$x=-4$是原方程的解。
【答案】
(1) $\sqrt{7}+\sqrt{2}$；$\sqrt{21 - x}+\sqrt{5 - x}$
(2) ① 8；② $x=-4$
【知识点】
二次根式平方差公式；对偶式构造应用；含根式方程求解
【点评】
本题核心是理解“对偶式”的定义，灵活运用平方差公式去根号，将复杂根式问题转化为常规代数运算，体现了构造法在数学解题中的简洁性与实用性，有助于提升对二次根式运算的灵活处理能力。
【难度系数】
0.6

19. 观察下列各式及验证过程：
$\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，验证：$\sqrt{\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{1}{2×3}}=\sqrt{\dfrac{2}{2^{2}×3}}=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
$\sqrt{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})}=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$，验证：$\sqrt{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})}=\sqrt{\dfrac{1}{2×3×4}}=\sqrt{\dfrac{3}{2×3^{2}×4}}=\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$.
$\sqrt{\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$，验证：$\sqrt{\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})}=\sqrt{\dfrac{1}{3×4×5}}=\sqrt{\dfrac{4}{3×4^{2}×5}}=\dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
(1)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\sqrt{\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6})}=$；
(2)按照上述三个等式及其验证过程的基本思路，猜想 $\sqrt{\dfrac{1}{8}(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10})}$ 的变形结果并进行验证；
(3)针对上述各式反映的规律，写出用 $n$($n≥2$ 的自然数)表示的等式，并进行验证.

19. (1) $ \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}} $ (2) 猜想 $ \sqrt{\frac{1}{8}(\frac{1}{9} - \frac{1}{10})} = \frac{1}{9}\sqrt{\frac{9}{80}} $，验证：$ \sqrt{\frac{1}{8}(\frac{1}{9} - \frac{1}{10})} = \sqrt{\frac{1}{8 × 9 × 10}} = \sqrt{\frac{9}{8 × 9^2 × 10}} = \frac{1}{9}\sqrt{\frac{9}{80}} $ (3) $ \sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n^2 + 2n}} $；验证：$ \sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}} = \sqrt{\frac{n + 1}{n · (n + 1)^2 · (n + 2)}} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n^2 + 2n}} $

【分析】
这是一道根式化简的规律探究题，解题思路是先观察已知等式的结构和变形规律，再利用规律解决问题：
1. 对于问题(1)，对比已知的三个等式，发现左边式子为$\sqrt{\frac{1}{k}(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2})}$（k依次为1、2、3），右边结果为$\frac{1}{k+1}\sqrt{\frac{k+1}{k(k+2)}}$，当k=4时代入即可得到结果；
2. 问题(2)，按照上述规律，当k=8时先猜想变形结果，再仿照已知验证步骤，先计算括号内的差，再将根号内分数的分子分母同乘9，转化为可开方的形式完成验证；
3. 问题(3)，根据前面的具体例子归纳出用n（n≥2的自然数）表示的一般等式，再通过通分、分子分母同乘(n+1)、开平方的步骤进行验证，确保等式成立。
【解析】
(1) 根据已知等式的规律，当左边为$\sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}$时，右边为$\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{4×6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$；
(2) 猜想：$\sqrt{\frac{1}{8}(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})}=\frac{1}{9}\sqrt{\frac{9}{80}}$
验证：
$\sqrt{\frac{1}{8}(\frac{1}{9}-\frac{1}{10})}=\sqrt{\frac{1}{8}×\frac{10-9}{9×10}}=\sqrt{\frac{1}{8×9×10}}=\sqrt{\frac{9}{8×9^2×10}}=\frac{1}{9}\sqrt{\frac{9}{80}}$；
(3) 用n（n≥2的自然数）表示的等式：$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n^2+2n}}$
验证：
$\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=\sqrt{\frac{1}{n}×\frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)}}=\sqrt{\frac{1}{n(n+1)(n+2)}}=\sqrt{\frac{n+1}{n·(n+1)^2·(n+2)}}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n(n+2)}}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n^2+2n}}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}}$；
(2) 猜想结果为$\boldsymbol{\frac{1}{9}\sqrt{\frac{9}{80}}}$，验证过程见解析；
(3) 等式为$\boldsymbol{\sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})}=\frac{1}{n+1}\sqrt{\frac{n+1}{n^2+2n}}}$（$n≥2$的自然数），验证过程见解析。
【知识点】
根式化简、规律探究、分式通分
【点评】
本题考查了根式的化简运算和规律探究能力，解题关键是通过观察已知等式，准确归纳出左边式子与右边结果的对应规律，再利用分式运算和根式性质进行验证，培养了学生的观察归纳能力和运算能力。
【难度系数】
0.6