1. 下列各式从左到右的变形一定正确的是()

A.$\frac{x}{y} = \frac{x^2}{y^2}$
B.$\frac{-x - y}{x + y} = -1$
C.$\frac{x}{y} = \frac{x + m}{x + m}$
D.$\frac{x + y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{x + y}$

B

选项A：当x=1，y=2时，左边$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{x^2}{y^2}=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}≠\frac{1}{4}$，变形错误；选项B：$\frac{-x - y}{x + y}=\frac{-(x + y)}{x + y}=-1$（$x + y≠0$），变形正确；选项C：当m=1，x=1，y=2时，左边$\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$，右边$\frac{x + m}{y + m}=\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}≠\frac{2}{3}$，变形错误；选项D：当x=1，y=1时，左边$\frac{x + y}{x^2 + y^2}=\frac{2}{2}=1$，右边$\frac{1}{x + y}=\frac{1}{2}$，$1≠\frac{1}{2}$，变形错误。

2. 若将分式$\frac{3xy}{x + 5y}$中的$x$，$y$都扩大到原来的10倍，则分式的值()

A.扩大到原来的10倍
B.缩小到原来的$\frac{1}{10}$
C.缩小到原来的$\frac{1}{100}$
D.不改变

A

将$x$和$y$都扩大到原来的10倍，即$x$变为$10x$，$y$变为$10y$，代入分式得到：
$\frac{3 × (10x) × (10y)}{10x + 5 × (10y)} = \frac{3 × 100xy}{10x + 50y} = \frac{300xy}{10(x + 5y)} = \frac{30xy}{x + 5y}$。
与原分式$\frac{3xy}{x + 5y}$相比，新的分式是原分式的10倍。

3. 下列各式从左到右的变形一定正确的是()

A.$\frac{a - b}{a + b} = \frac{a^2 - b^2}{(a + b)^2}$
B.$\frac{x^2}{y^2} = \frac{x}{y}$
C.$\frac{a}{3b} = \frac{a + 2}{3b + 2}$
D.$\frac{a - b}{b} = \frac{a^2 - b^2}{ab - b^2}$

A

选项A：右边分子$a^2 - b^2=(a - b)(a + b)$，分母$(a + b)^2$，即右边为$\frac{(a - b)(a + b)}{(a + b)^2}$，是左边分子分母同乘$(a + b)$（$a + b ≠ 0$，原分式有意义则$a + b ≠ 0$），符合分式基本性质，变形正确；选项B：$\frac{x^2}{y^2}$与$\frac{x}{y}$不相等（如$x=2,y=3$时），错误；选项C：分子分母同时加2不符合分式基本性质，错误；选项D：右边分子分母约分时需$a - b ≠ 0$，当$a - b = 0$时右边无意义，变形不一定正确。

4. 在分式①$\frac{ab}{a^2b + ab^2}$，②$\frac{x + y}{x^2 - y^2}$，③$\frac{x + y}{x^2 + y^2}$，④$\frac{2x}{2 + x}$中，最简分式为(填序号)。

③④

① $\frac{ab}{a^2b + ab^2}$：分子和分母有公因式 $ab$，可以约分，不是最简分式。
② $\frac{x + y}{x^2 - y^2}$：分母 $x^2 - y^2$ 可以分解为 $(x + y)(x - y)$，分子和分母有公因式 $x + y$，可以约分，不是最简分式。
③ $\frac{x + y}{x^2 + y^2}$：分子和分母没有公因式，是最简分式。
④ $\frac{2x}{2 + x}$：分子和分母没有公因式，是最简分式。
最简分式是 ③ 和 ④。

5. 化简下列分式：


（1）$\frac{-12xy^2z^3}{6yz^2}$；
（2）$\frac{a^2 - 9}{9 - 6a + a^2}$。

（1）原式$=\frac{-12}{6} · x · \frac{y^2}{y} · \frac{z^3}{z^2} = -2xyz$
（2）原式$=\frac{(a+3)(a-3)}{(a-3)^2} = \frac{a+3}{a-3}$

6. 先化简，再求值：$\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}$，其中$a = -3$，$b = 5$。

$-4$

化简过程：
$\begin{aligned}\frac{a^2 - b^2}{a^2 + 2ab + b^2}&=\frac{(a + b)(a - b)}{(a + b)^2}\\&=\frac{a - b}{a + b}\end{aligned}$
代入求值：
当 $a = -3$，$b = 5$ 时，
$\frac{a - b}{a + b}=\frac{-3 - 5}{-3 + 5}=\frac{-8}{2}=-4$

7. 提升题 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：$\frac{x - 1}{x + 1}$，$\frac{x^2}{x - 1}$。当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：$\frac{3}{x + 1}$，$\frac{2x}{x^2 + 1}$。我们知道，假分数可以化为带分数，例如：$\frac{8}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2\frac{2}{3}$。类似地，假分式也可以化为带分式(即整式与真分式和的形式)。例如：$\frac{x^2}{x - 1} = \frac{x^2 - 1 + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1)(x - 1) + 1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$。

(1)判断：$\frac{2x}{x^2 - 3}$为(填“真分式”或“假分式”)；
(2)仿照例子，将分式$\frac{x - 1}{x + 2}$化为带分式；
(3)若分式$\frac{2x - 1}{x + 1}$的值为整数，求$x$的整数值。

(1)
真分式
(2)
$\begin{aligned} \frac{x - 1}{x + 2} &= \frac{(x + 2) - 3}{x + 2} \\ &= \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{3}{x + 2} \\ &= 1 - \frac{3}{x + 2} \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \frac{2x - 1}{x + 1} &= \frac{2(x + 1) - 3}{x + 1} \\ &= 2 - \frac{3}{x + 1} \end{aligned}$
分式的值为整数，故：
$x + 1 = \pm 1 \quad \mathrm{或} \quad x + 1 = \pm 3$，
解得：
$x = 0, -2, 2, -4$，
所以$x$的整数值为$-4$，$-2$，$0$，$2$。