1. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $ A(-1,5) $，$ B(-1,0) $，$ C(-4,3) $，则三角形 $ ABC $ 的面积为.

7.5

由点A(-1,5)，B(-1,0)可知，AB垂直于x轴，AB的长度为5-0=5。点C(-4,3)到AB的距离为|-1 - (-4)|=3。三角形ABC的面积为(5×3)÷2=7.5。

2. 已知 $ A(-3,1) $，$ B(-3,-2) $，$ C(2,-2) $，$ D(2,3) $.
（1）在如图所示的平面直角坐标系中描出 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 各点并依次连线；
（2）求四边形 $ ABCD $ 的面积.

20

（1）（此处需在坐标系中描点连线，因无法直接画图，故略去具体画图步骤）
（2）由点的坐标可知：
A(-3,1)，B(-3,-2)，AB垂直于x轴，AB的长度为：1 - (-2) = 3
B(-3,-2)，C(2,-2)，BC平行于x轴，BC的长度为：2 - (-3) = 5
C(2,-2)，D(2,3)，CD垂直于x轴，CD的长度为：3 - (-2) = 5
连接AC，将四边形ABCD分为三角形ABC和三角形ACD。
三角形ABC的面积：$\frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 3 × 5 = 7.5$
三角形ACD的面积：$\frac{1}{2} × CD × (2 - (-3)) = \frac{1}{2} × 5 × 5 = 12.5$
四边形ABCD的面积：7.5 + 12.5 = 20

3. 如图，已知四边形 $ ABCD $ 的四个顶点的坐标分别是 $ (-4,5) $，$ (2,3) $，$ (4,-2) $，$ (-4,-5) $.求四边形 $ ABCD $ 的面积.

53

解：
1. 确定关键点与线段长度
点A(-4,5)，D(-4,-5)，横坐标相同，AD为竖直线段，长度为 $5 - (-5) = 10$。
过点B(2,3)作AD的垂线，垂足E(-4,3)；过点C(4,-2)作AD的垂线，垂足F(-4,-2)。
2. 分割图形并计算面积
三角形ABE：AE=5-3=2，BE=2-(-4)=6，面积 $S_1 = \frac{1}{2} × AE × BE = \frac{1}{2} × 2 × 6 = 6$。
梯形BEFC：上底BE=6，下底CF=4-(-4)=8，高EF=3-(-2)=5，面积 $S_2 = \frac{1}{2} × (BE + CF) × EF = \frac{1}{2} × (6 + 8) × 5 = 35$。
三角形CFD：FD=-2-(-5)=3，CF=8，面积 $S_3 = \frac{1}{2} × CF × FD = \frac{1}{2} × 8 × 3 = 12$。
3. 总面积
四边形ABCD面积 $S = S_1 + S_2 + S_3 = 6 + 35 + 12 = 53$。

4. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 $ ABC $ 的顶点都在网格点上，其中点 $ C $ 的坐标为 $ (1,2) $.
(1)点 $ A $ 的坐标是，点 $ B $ 的坐标是；
(2)求三角形 $ ABC $ 的面积.

(1)(2,-1);(4,3)
(2)过点B作BD垂直于x轴于点D，过点C作CE垂直于x轴于点E。
则梯形BDCE的面积为：$\frac{1}{2}×(2+3)×(4-1)=\frac{15}{2}$
三角形AEC的面积为：$\frac{1}{2}×(2-1)×(2+1)=\frac{3}{2}$
三角形ABD的面积为：$\frac{1}{2}×(4-2)×(3+1)=4$
所以三角形ABC的面积为：$\frac{15}{2}-\frac{3}{2}-4=7-4=3$
答：三角形ABC的面积为3。

5. 如图，已知在平面直角坐标系中，$ A(0,1) $，$ B(2,0) $，$ C(4,3) $，则三角形 $ ABC $ 的面积为；若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，且三角形 $ ABP $ 与三角形 $ ABC $ 的面积相等，则点 $ P $ 的坐标为.

三角形$ABC$面积为$4$；点$P$坐标为$(-6,0)$或$(10,0)$（按照题目填空顺序，第一空填$4$，第二空填$(-6,0),(10,0)$ ）

1. 求$△ ABC$的面积：
向$x$轴作垂线方法（或用割补法）：
周围几个矩形面积相加减来求$△ ABC$面积。以$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$为顶点，通过补成一个大的矩形，大矩形顶点坐标分别为$(0,0)$，$(4,0)$，$(4,3)$，$(0,3)$，其面积$S = 4×3=12$。
减去三个直角三角形面积：
直角三角形$AOB$，$OA = 1$，$OB = 2$，$S_{AOB}=\frac{1}{2}×1×2 = 1$；
直角三角形$BOC$，$OB = 2$，$OC$（$C$点纵坐标）$ = 3$，$S_{BOC}=\frac{1}{2}×2×3 = 3$；
直角三角形$AOC$（从$C$向$y$轴作垂线辅助分析），$S_{AOC}$相关部分，这里我们用割补法整体算，还有直角三角形$ACD$（$D(4,0)$），$AD = 2$，$CD = 4 - 0=4$（横坐标差），$S_{ACD}=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
则$S_{△ ABC}=12-(1 + 3+4)=4$。
也可用公式$S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)\right|$，将$A(0,1)$，$B(2,0)$，$C(4,3)$代入：
$S=\frac{1}{2}\left|0×(0 - 3)+2×(3 - 1)+4×(1 - 0)\right|=\frac{1}{2}\left|0 + 4 + 4\right| = 4$。
2. 求点$P$的坐标：
设$P(x,0)$，已知$B(2,0)$，$A(0,1)$，$S_{△ ABP}=S_{△ ABC}=4$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，$△ ABP$以$\vert x - 2\vert$为底（$B$与$P$横坐标差的绝对值），高为$A$点纵坐标$1$。
则$\frac{1}{2}×\vert x - 2\vert×1 = 4$，即$\vert x - 2\vert=8$。
当$x - 2 = 8$时，$x = 10$；当$x - 2=-8$时，$x=-6$。
所以$P$点坐标为$(-6,0)$或$(10,0)$。