例 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AB = 4$，$∠ BAD = 120°$，点 $E$，$F$ 分别在菱形的边 $BC$，$CD$ 上滑动，且点 $E$，$F$ 不与点 $B$，$C$，$D$ 重合，$△ AEF$ 为等边三角形.
(1) 求证 $BE = CF$.
(2) 当点 $E$，$F$ 在 $BC$，$CD$ 上滑动时，探讨四边形 $AECF$ 的面积是否变化.如果不变，求这个定值；如果变化，说明理由.

分析：连接 $AC$，易得 $△ ABC$ 为等边三角形，用“SAS”证 $△ ABE≌△ ACF$，即可解决问题.
解：(1) 如图，连接 $AC$. $\because$ 在菱形 $ABCD$ 中，$∠ BAD = 120°$，
$\therefore ∠ B = 60°$，$∠ BAC = 60°$.
$\therefore △ ABC$ 为等边三角形. $\therefore AB = AC$.
又 $\because △ AEF$ 为等边三角形，$\therefore AE = AF$，且 $∠ EAF = 60°$.
$\therefore ∠ BAC = ∠ EAF = 60°$.
$\therefore ∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAF - ∠ EAC$，即 $∠ BAE = ∠ CAF$.
$\because$ 在 $△ ABE$ 和 $△ ACF$ 中，$\{\begin{array}{l} AB = AC, \\ ∠ BAE = ∠ CAF, \\ AE = AF, \end{array} $
$\therefore △ ABE≌△ ACF(SAS)$. $\therefore BE = CF$.
(2) 四边形 $AECF$ 的面积不变.
由(1)得 $S_{\mathrm{四边形}AECF} = S_{△ AEC} + S_{△ ACF} = S_{△ AEC} + S_{△ ABE} = S_{△ ABC} = \dfrac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD} = 4\sqrt{3}$.

(1) 证明：
连接$AC$。
$\because$ 四边形$ABCD$是菱形，$∠ BAD = 120°$，
$\therefore ∠ B = 60°$，$AB = BC$，$∠ BAC = \dfrac{1}{2}∠ BAD = 60°$，
$\therefore △ ABC$是等边三角形，$\therefore AB = AC$。
$\because △ AEF$是等边三角形，
$\therefore AE = AF$，$∠ EAF = 60°$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ EAC = ∠ EAF - ∠ EAC$，即$∠ BAE = ∠ CAF$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中，
$\begin{cases}AB = AC \\∠ BAE = ∠ CAF \\AE = AF\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE = CF$。
(2) 解：
四边形$AECF$的面积不变，定值为$4\sqrt{3}$。
由(1)知$△ ABE ≌ △ ACF$，则$S_{△ ABE} = S_{△ ACF}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}AECF} = S_{△ AEC} + S_{△ ACF} = S_{△ AEC} + S_{△ ABE} = S_{△ ABC}$。
$\because △ ABC$是边长为$4$的等边三角形，
$\therefore S_{△ ABC} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} × 4^2 = 4\sqrt{3}$，
$\therefore$ 四边形$AECF$的面积为$4\sqrt{3}$，保持不变。