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1. 填空。
(1) 把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成 7 份，再切成同样大的小正方体。3 面涂色的小正方体有()个，2 面涂色的小正方体有()个。
(2) 把一个正方体切成两个完全一样的长方体，表面积增加了 18 平方米。这个正方体的体积是()立方米。
(1) 把一个表面涂色的大正方体的每条棱平均分成 7 份，再切成同样大的小正方体。3 面涂色的小正方体有()个，2 面涂色的小正方体有()个。
(2) 把一个正方体切成两个完全一样的长方体，表面积增加了 18 平方米。这个正方体的体积是()立方米。
答案
(1) 8，60；(2) 27
解析
(1) 1. 三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个。
2. 两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，且每条棱上去掉两个顶点，每条棱上有7-2=5个，正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体共有$5×12=60$个。
(2) 把一个正方体切成两个完全一样的长方体，增加了两个面，表面积增加了18平方米，即每个面的面积是$18 ÷ 2=9$平方米，正方体的边长为3米（因为$3×3=9$），体积为$3×3×3=27$立方米。
2. 两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上，且每条棱上去掉两个顶点，每条棱上有7-2=5个，正方体有12条棱，所以两面涂色的小正方体共有$5×12=60$个。
(2) 把一个正方体切成两个完全一样的长方体，增加了两个面，表面积增加了18平方米，即每个面的面积是$18 ÷ 2=9$平方米，正方体的边长为3米（因为$3×3=9$），体积为$3×3×3=27$立方米。
2. 选择。
(1) 一个正方体的棱长扩大到原来的 4 倍，它的表面积扩大到原来的()倍。
① 4
② 8
③ 16
(1) 一个正方体的棱长扩大到原来的 4 倍，它的表面积扩大到原来的()倍。
① 4
② 8
③ 16
答案
③
解析
设原正方体棱长为$a$，原表面积为$6a^2$。棱长扩大到原来的4倍后，新棱长为$4a$，新表面积为$6×(4a)^2 = 6×16a^2 = 16×6a^2$，所以表面积扩大到原来的16倍。
(2) 把一个 1 立方分米的正方体平均分成若干个 1 立方厘米的小正方体，再把所有小正方体排成 1 排，全长()米。
① 1000
② 100
③ 10
① 1000
② 100
③ 10
答案
③
解析
大正方体体积为1立方分米，则棱长为1分米=10厘米，每条棱长上可以分割出10个1厘米长的小正方体，小正方体总个数：$10×10×10=1000$（个）。
每个小正方体棱长为1厘米，则1000个小正方体排成一排的总长度：$1×1000=1000$（厘米）。
单位换算：$1000 厘米=10 米$。
每个小正方体棱长为1厘米，则1000个小正方体排成一排的总长度：$1×1000=1000$（厘米）。
单位换算：$1000 厘米=10 米$。
3. 李叔叔做了一个长方体信箱(如右图)，信箱的正面开了一个长 20 厘米、宽 5 厘米的长方形投信孔。
(1) 给信箱外表面涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？
(2) 把信箱挂在墙上，占去墙面多少平方厘米？
(1) 给信箱外表面涂上油漆，涂油漆的面积是多少平方厘米？
(2) 把信箱挂在墙上，占去墙面多少平方厘米？
答案
(1) 长方体表面积：$2×(30×15 + 30×40 + 15×40) = 2×(450 + 1200 + 600) = 2×2250 = 4500$（平方厘米）
投信孔面积：$20×5 = 100$（平方厘米）
涂油漆面积：$4500 - 100 = 4400$（平方厘米）
(2) 占墙面面积即贴墙的面面积（长×高）：$30×40 = 1200$（平方厘米）
(1) 4400平方厘米
(2) 1200平方厘米
投信孔面积：$20×5 = 100$（平方厘米）
涂油漆面积：$4500 - 100 = 4400$（平方厘米）
(2) 占墙面面积即贴墙的面面积（长×高）：$30×40 = 1200$（平方厘米）
(1) 4400平方厘米
(2) 1200平方厘米
4. 如果将一个表面涂色的大正方体平均切成棱长为 1 厘米的小正方体后，2 面涂色的小正方体有 48 个，那么这个大正方体的棱长是多少厘米？1 面涂色的小正方体有多少个？
答案
设大正方体每条棱上小正方体的个数为$ n $（即大正方体棱长为$ n $厘米）。
1. 求大正方体的棱长：
2面涂色的小正方体在每条棱上（除去顶点），每条棱上有$ n-2 $个，正方体有12条棱，可得方程：
$ 12(n-2)=48 $
解得$ n-2=4 $，$ n=6 $。
故大正方体棱长为6厘米。
2. 求1面涂色的小正方体个数：
1面涂色的小正方体在每个面的中间部分，每个面有$ (n-2)^2 $个，正方体有6个面，所以个数为：
$ 6(n-2)^2=6×(6-2)^2=6×16=96 $。
大正方体的棱长是6厘米，1面涂色的小正方体有96个。
1. 求大正方体的棱长：
2面涂色的小正方体在每条棱上（除去顶点），每条棱上有$ n-2 $个，正方体有12条棱，可得方程：
$ 12(n-2)=48 $
解得$ n-2=4 $，$ n=6 $。
故大正方体棱长为6厘米。
2. 求1面涂色的小正方体个数：
1面涂色的小正方体在每个面的中间部分，每个面有$ (n-2)^2 $个，正方体有6个面，所以个数为：
$ 6(n-2)^2=6×(6-2)^2=6×16=96 $。
大正方体的棱长是6厘米，1面涂色的小正方体有96个。
5. 一种长方体礼品盒长 8 厘米，宽 6 厘米，高 2 厘米。现将 4 个这样的礼品盒包装成一包，怎样包装最节省包装纸？
答案
①重合面积最大时，表面积最小，最节约包装纸。
重合面积为长×宽：$8× 6 = 48\mathrm{（cm^2）}$。
4 个礼品盒叠起高度：$2× 4 = 8\mathrm{（cm）}$。
新长方体表面积：$2× (8 × 6 + 8 × 8 + 6 × 8) = 320\mathrm{（cm^2）}$。
②重合面积为长×高：$8× 2 = 16\mathrm{（cm^2）}$。
2 个一排，两排叠起，新长方体长 16cm，宽 6cm，高 4cm。
新长方体表面积：$2× (16× 6 + 16× 4 + 6× 4) = 368\mathrm{（cm^2）}$。
③重合面积为宽×高：$6 × 2 = 12\mathrm{（cm^2）}$。
新长方体表面积：$2× (24 + 32 + 8) = 2× 64 = 32 × 2 + 8 × 24 ×\frac{1}{2}（错误，重新计算）$，
正确计算：长$12$cm，宽$8$cm，高$4$cm（2 个一排，叠 2 排），
表面积$2× (12× 8 + 12× 4 + 8× 4) = 2× (96 + 48 + 32) = 352\mathrm{（cm^2）}$。
因为$320＜ 352＜ 368$。
最节约的包装方式是重合长$×$宽面，叠起高度为$8$cm，表面积最小为$320\mathrm{cm}^2$。
重合面积为长×宽：$8× 6 = 48\mathrm{（cm^2）}$。
4 个礼品盒叠起高度：$2× 4 = 8\mathrm{（cm）}$。
新长方体表面积：$2× (8 × 6 + 8 × 8 + 6 × 8) = 320\mathrm{（cm^2）}$。
②重合面积为长×高：$8× 2 = 16\mathrm{（cm^2）}$。
2 个一排，两排叠起，新长方体长 16cm，宽 6cm，高 4cm。
新长方体表面积：$2× (16× 6 + 16× 4 + 6× 4) = 368\mathrm{（cm^2）}$。
③重合面积为宽×高：$6 × 2 = 12\mathrm{（cm^2）}$。
新长方体表面积：$2× (24 + 32 + 8) = 2× 64 = 32 × 2 + 8 × 24 ×\frac{1}{2}（错误，重新计算）$，
正确计算：长$12$cm，宽$8$cm，高$4$cm（2 个一排，叠 2 排），
表面积$2× (12× 8 + 12× 4 + 8× 4) = 2× (96 + 48 + 32) = 352\mathrm{（cm^2）}$。
因为$320＜ 352＜ 368$。
最节约的包装方式是重合长$×$宽面，叠起高度为$8$cm，表面积最小为$320\mathrm{cm}^2$。
