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4. 计算： $ 15 ÷ \sqrt { 5 } × \frac { 1 } { \sqrt { 5 } } $ 的结果是.
答案
3
解析
首先将除法转化为乘法:
$15÷\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}= 15 × \frac{1}{\sqrt{5}} × \frac{1}{\sqrt{5}}$，
然后利用二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a× b}$（$a≥0,b≥0$）进行计算:
$15 × \frac{1}{\sqrt{5}} × \frac{1}{\sqrt{5}}=15×\frac{1}{5}=3$。
$15÷\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}= 15 × \frac{1}{\sqrt{5}} × \frac{1}{\sqrt{5}}$，
然后利用二次根式的乘法法则，即$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a× b}$（$a≥0,b≥0$）进行计算:
$15 × \frac{1}{\sqrt{5}} × \frac{1}{\sqrt{5}}=15×\frac{1}{5}=3$。
5. 计算： $ \sqrt { 15 m ^ { 3 } } · \sqrt { \frac { 2 } { 5 m } } ÷ \sqrt { 20 m } = $.
答案
$\frac{\sqrt{30m}}{10}$（或填$\frac{\sqrt{30}\sqrt{m}}{10}$ ）根据题目要求这里填最终化简结果的表达式形式，即$\frac{\sqrt{30m}}{10}$对应的（若为填空题直接填$\frac{\sqrt{30m}}{10}$，若按本题要求格式则此处不需再写，因题目要求答案填ABCD形式本题无对应选项形式，按解析给出最终结果表达） 实际按本题要求此处应理解为给出最终答案表达式相关，本题按解析过程最终答案为$\frac{\sqrt{30m}}{10}$ 。
解析
本题可根据二次根式的乘除法运算法则，先将除法转化为乘法，再根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）进行计算，最后化简结果。
步骤一：将除法转化为乘法
根据二次根式的除法运算法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{a}×\frac{1}{\sqrt{b}}=\sqrt{a}×\sqrt{\frac{1}{b}}$（$a≥0,b＞0$），将$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ÷ \sqrt { 20 m }$转化为$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ×\frac{1}{\sqrt { 20 m }}$，进一步变形为$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ×\sqrt {\frac { 1 } { 20 m }}$。
步骤二：根据二次根式乘法法则进行计算
根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}·\sqrt{c}=\sqrt{abc}$（$a≥0,b≥0,c≥0$），可得：
$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ×\sqrt {\frac { 1 } { 20 m }}=\sqrt{15m^3×\frac{2}{5m}×\frac{1}{20m}}$
步骤三：化简根式内的式子
对$15m^3×\frac{2}{5m}×\frac{1}{20m}$进行化简：
$\begin{aligned}15m^3×\frac{2}{5m}×\frac{1}{20m}&=(15×\frac{2}{5}×\frac{1}{20})×(m^3×\frac{1}{m}×\frac{1}{m})\\&=\frac{3}{10}× m^{3 - 1 - 1}\\&=\frac{3}{10}m\end{aligned}$
则原式变为$\sqrt{\frac{3}{10}m}$。
步骤四：对$\sqrt{\frac{3}{10}m}$进行分母有理化
$\sqrt{\frac{3}{10}m}=\sqrt{\frac{3m}{10}}=\sqrt{\frac{30m}{100}}=\frac{\sqrt{30m}}{10}$
步骤一：将除法转化为乘法
根据二次根式的除法运算法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{a}×\frac{1}{\sqrt{b}}=\sqrt{a}×\sqrt{\frac{1}{b}}$（$a≥0,b＞0$），将$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ÷ \sqrt { 20 m }$转化为$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ×\frac{1}{\sqrt { 20 m }}$，进一步变形为$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ×\sqrt {\frac { 1 } { 20 m }}$。
步骤二：根据二次根式乘法法则进行计算
根据$\sqrt{a}·\sqrt{b}·\sqrt{c}=\sqrt{abc}$（$a≥0,b≥0,c≥0$），可得：
$\sqrt { 15 m ^{3}} · \sqrt {\frac { 2 } { 5 m }} ×\sqrt {\frac { 1 } { 20 m }}=\sqrt{15m^3×\frac{2}{5m}×\frac{1}{20m}}$
步骤三：化简根式内的式子
对$15m^3×\frac{2}{5m}×\frac{1}{20m}$进行化简：
$\begin{aligned}15m^3×\frac{2}{5m}×\frac{1}{20m}&=(15×\frac{2}{5}×\frac{1}{20})×(m^3×\frac{1}{m}×\frac{1}{m})\\&=\frac{3}{10}× m^{3 - 1 - 1}\\&=\frac{3}{10}m\end{aligned}$
则原式变为$\sqrt{\frac{3}{10}m}$。
步骤四：对$\sqrt{\frac{3}{10}m}$进行分母有理化
$\sqrt{\frac{3}{10}m}=\sqrt{\frac{3m}{10}}=\sqrt{\frac{30m}{100}}=\frac{\sqrt{30m}}{10}$
6. 计算：
（1） $ \sqrt { \frac { 24 } { 25 } } $； （2） $ \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } } $；
（3） $ 10 \sqrt { 2 } ÷ \frac { 1 } { 5 } \sqrt { 14 } $； （4） $ \frac { 6 \sqrt { a ^ { 3 } } } { \sqrt { 3 a } } $.
（1） $ \sqrt { \frac { 24 } { 25 } } $； （2） $ \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } } $；
（3） $ 10 \sqrt { 2 } ÷ \frac { 1 } { 5 } \sqrt { 14 } $； （4） $ \frac { 6 \sqrt { a ^ { 3 } } } { \sqrt { 3 a } } $.
答案
（1）
$ \begin {aligned}&\sqrt { \frac { 24 } { 25 } }\\=&\frac {\sqrt { 24 }} {\sqrt { 25 }}\\=&\frac {2\sqrt{ 6 }} {5 }\end {aligned}$
（2）
$\begin {aligned}&\frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } }\\=&\frac { \sqrt { 5 }×\sqrt { 7 } } { \sqrt { 7 }×\sqrt { 7 } }\\=&\frac{\sqrt{35}}{7}\end {aligned}$
（3）
$\begin {aligned}&10\sqrt {2}÷\frac{1}{5}\sqrt{14}\\=&10\sqrt {2}×\frac{5}{\sqrt{14}}\\=&\frac{50\sqrt{2}}{\sqrt{14}}\\=&\frac{50\sqrt{2}×\sqrt{14}}{14}\\=&\frac{50\sqrt{28}}{14}\\=&\frac{50×2\sqrt{7}}{14}\\=&\frac{50\sqrt{7}}{7}\end {aligned}$
（4）
$\begin {aligned}&\frac { 6\sqrt { a ^ { 3 } } } { \sqrt { 3a } }\\=&6×\sqrt{\frac{a^{3}}{3a}}\\=&6×\sqrt{\frac{a^{2}}{3}}\\=&6×\frac{a}{\sqrt{3}}\\=&2\sqrt{3}a\end {aligned}$
$ \begin {aligned}&\sqrt { \frac { 24 } { 25 } }\\=&\frac {\sqrt { 24 }} {\sqrt { 25 }}\\=&\frac {2\sqrt{ 6 }} {5 }\end {aligned}$
（2）
$\begin {aligned}&\frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { 7 } }\\=&\frac { \sqrt { 5 }×\sqrt { 7 } } { \sqrt { 7 }×\sqrt { 7 } }\\=&\frac{\sqrt{35}}{7}\end {aligned}$
（3）
$\begin {aligned}&10\sqrt {2}÷\frac{1}{5}\sqrt{14}\\=&10\sqrt {2}×\frac{5}{\sqrt{14}}\\=&\frac{50\sqrt{2}}{\sqrt{14}}\\=&\frac{50\sqrt{2}×\sqrt{14}}{14}\\=&\frac{50\sqrt{28}}{14}\\=&\frac{50×2\sqrt{7}}{14}\\=&\frac{50\sqrt{7}}{7}\end {aligned}$
（4）
$\begin {aligned}&\frac { 6\sqrt { a ^ { 3 } } } { \sqrt { 3a } }\\=&6×\sqrt{\frac{a^{3}}{3a}}\\=&6×\sqrt{\frac{a^{2}}{3}}\\=&6×\frac{a}{\sqrt{3}}\\=&2\sqrt{3}a\end {aligned}$
7. 观察下列等式：
第1个等式： $ a _ { 1 } = \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } = \sqrt { 2 } - 1 $，
第2个等式： $ a _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } } = \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } $，
第3个等式： $ a _ { 3 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } + 2 } = 2 - \sqrt { 3 } $，
……
按上述规律，计算 $ a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + ··· + a _ { 2024 } = $.
第1个等式： $ a _ { 1 } = \frac { 1 } { 1 + \sqrt { 2 } } = \sqrt { 2 } - 1 $，
第2个等式： $ a _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } } = \sqrt { 3 } - \sqrt { 2 } $，
第3个等式： $ a _ { 3 } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } + 2 } = 2 - \sqrt { 3 } $，
……
按上述规律，计算 $ a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + ··· + a _ { 2024 } = $.
答案
44
解析
观察等式可知，每个$a_n = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}$。
$a_1 + a_2 + ··· + a_{2024} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + ··· + (\sqrt{2025} - \sqrt{2024})$
去括号后中间项抵消，得$\sqrt{2025} - 1 = 45 - 1 = 44$。
$a_1 + a_2 + ··· + a_{2024} = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + ··· + (\sqrt{2025} - \sqrt{2024})$
去括号后中间项抵消，得$\sqrt{2025} - 1 = 45 - 1 = 44$。
填空 下列二次根式在加减运算中可以与$\sqrt{2}$合并的有.
①$\sqrt{18}$；②$\sqrt{12}$；③$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；④$\sqrt[3]{2}$；⑤$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
①$\sqrt{18}$；②$\sqrt{12}$；③$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；④$\sqrt[3]{2}$；⑤$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
答案
①⑤（题中序号排列，即对应①⑤）
解析
将给出的各二次根式化简为最简二次根式后，若被开方数为2，则可与$\sqrt{2}$合并：
①$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并。
②$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，不可与$\sqrt{2}$合并。
③$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数为6，不可与$\sqrt{2}$合并。
④$\sqrt[3]{2}$为三次根式，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不可合并。
⑤$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并。
所以可以与$\sqrt{2}$合并的有①⑤。
①$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并。
②$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数为3，不可与$\sqrt{2}$合并。
③$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数为6，不可与$\sqrt{2}$合并。
④$\sqrt[3]{2}$为三次根式，与$\sqrt{2}$不是同类二次根式，不可合并。
⑤$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数为2，可与$\sqrt{2}$合并。
所以可以与$\sqrt{2}$合并的有①⑤。
例1 计算：
(1)$3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}$； (2)$4\sqrt{5}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5}$；
(3)$\sqrt{98}-\sqrt{32}$； (4)$\sqrt{24a}-\dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$.
名师导引 合并二次根式的依据是乘法对加法分配律的逆用.
(1)$3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-\sqrt{3}$； (2)$4\sqrt{5}-\dfrac{3}{2}\sqrt{5}$；
(3)$\sqrt{98}-\sqrt{32}$； (4)$\sqrt{24a}-\dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$.
名师导引 合并二次根式的依据是乘法对加法分配律的逆用.
答案
(1) $3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3}$
$=(3 + 2 - 1)\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}$
(2) $4\sqrt{5} - \dfrac{3}{2}\sqrt{5}$
$=(4 - \dfrac{3}{2})\sqrt{5}$
$=\dfrac{5}{2}\sqrt{5}$
(3) $\sqrt{98} - \sqrt{32}$
$=\sqrt{49×2} - \sqrt{16×2}$
$=7\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$
$=(7 - 4)\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(4) $\sqrt{24a} - \dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$
$=\sqrt{4×6a} - \dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$
$=2\sqrt{6a} - \dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$
$=(2 - \dfrac{1}{2})\sqrt{6a}$
$=\dfrac{3}{2}\sqrt{6a}$
$=(3 + 2 - 1)\sqrt{3}$
$=4\sqrt{3}$
(2) $4\sqrt{5} - \dfrac{3}{2}\sqrt{5}$
$=(4 - \dfrac{3}{2})\sqrt{5}$
$=\dfrac{5}{2}\sqrt{5}$
(3) $\sqrt{98} - \sqrt{32}$
$=\sqrt{49×2} - \sqrt{16×2}$
$=7\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$
$=(7 - 4)\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}$
(4) $\sqrt{24a} - \dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$
$=\sqrt{4×6a} - \dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$
$=2\sqrt{6a} - \dfrac{1}{2}\sqrt{6a}$
$=(2 - \dfrac{1}{2})\sqrt{6a}$
$=\dfrac{3}{2}\sqrt{6a}$
变式训练 计算：
(1)$3\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{18}-(\sqrt{98}-2\sqrt{75}+\sqrt{27})$；
(3)$\dfrac{4}{3}\sqrt{9x}+\dfrac{5}{x}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
(1)$3\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}$；
(2)$\sqrt{18}-(\sqrt{98}-2\sqrt{75}+\sqrt{27})$；
(3)$\dfrac{4}{3}\sqrt{9x}+\dfrac{5}{x}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$.
答案
【解析】：
(1) $3\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}=(3 - \dfrac{1}{2} - 2)\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{18}-(\sqrt{98}-2\sqrt{75}+\sqrt{27})=3\sqrt{2}-(7\sqrt{2}-10\sqrt{3}+3\sqrt{3})=3\sqrt{2}-7\sqrt{2}+7\sqrt{3}=-4\sqrt{2}+7\sqrt{3}$；
(3) $\dfrac{4}{3}\sqrt{9x}+\dfrac{5}{x}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{4}{3}×3\sqrt{x}+\dfrac{5}{x}× x\sqrt{x}-6×\dfrac{\sqrt{x}}{2}-2x×\dfrac{\sqrt{x}}{x}=4\sqrt{x}+5\sqrt{x}-3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=4\sqrt{x}$.
【答案】：
(1)$\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$；(2)$-4\sqrt{2}+7\sqrt{3}$；(3)$4\sqrt{x}$
(1) $3\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-2\sqrt{2}=(3 - \dfrac{1}{2} - 2)\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$；
(2) $\sqrt{18}-(\sqrt{98}-2\sqrt{75}+\sqrt{27})=3\sqrt{2}-(7\sqrt{2}-10\sqrt{3}+3\sqrt{3})=3\sqrt{2}-7\sqrt{2}+7\sqrt{3}=-4\sqrt{2}+7\sqrt{3}$；
(3) $\dfrac{4}{3}\sqrt{9x}+\dfrac{5}{x}\sqrt{x^{3}}-6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{4}{3}×3\sqrt{x}+\dfrac{5}{x}× x\sqrt{x}-6×\dfrac{\sqrt{x}}{2}-2x×\dfrac{\sqrt{x}}{x}=4\sqrt{x}+5\sqrt{x}-3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=4\sqrt{x}$.
【答案】：
(1)$\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$；(2)$-4\sqrt{2}+7\sqrt{3}$；(3)$4\sqrt{x}$
解析
(1)原式$=(3 - \frac{1}{2} - 2)\sqrt{2} = \frac{1}{2}\sqrt{2}$；
(2)先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{98}=\sqrt{49×2}=7\sqrt{2}$，
$2\sqrt{75}=2\sqrt{25×3}=10\sqrt{3}$，
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
则原式$=3\sqrt{2}-(7\sqrt{2}-10\sqrt{3}+3\sqrt{3})$
$=3\sqrt{2}-7\sqrt{2}+10\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=( - 4)\sqrt{2}+7\sqrt{3}$
$=7\sqrt{3}-4\sqrt{2}$；
(3)因为二次根式有意义，则$x＞0$，
先将各项化为最简二次根式：
$\frac{4}{3}\sqrt{9x}=\frac{4}{3}×3\sqrt{x}=4\sqrt{x}$，
$\frac{5}{x}\sqrt{x^{3}}=\frac{5}{x}× x\sqrt{x}=5\sqrt{x}$，
$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$，
$2x\sqrt{\frac{1}{x}}=2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}$，
则原式$=4\sqrt{x}+5\sqrt{x}-3\sqrt{x}-2\sqrt{x}$
$=(4 + 5-3-2)\sqrt{x}$
$=4\sqrt{x}$。
(2)先将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，
$\sqrt{98}=\sqrt{49×2}=7\sqrt{2}$，
$2\sqrt{75}=2\sqrt{25×3}=10\sqrt{3}$，
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，
则原式$=3\sqrt{2}-(7\sqrt{2}-10\sqrt{3}+3\sqrt{3})$
$=3\sqrt{2}-7\sqrt{2}+10\sqrt{3}-3\sqrt{3}$
$=( - 4)\sqrt{2}+7\sqrt{3}$
$=7\sqrt{3}-4\sqrt{2}$；
(3)因为二次根式有意义，则$x＞0$，
先将各项化为最简二次根式：
$\frac{4}{3}\sqrt{9x}=\frac{4}{3}×3\sqrt{x}=4\sqrt{x}$，
$\frac{5}{x}\sqrt{x^{3}}=\frac{5}{x}× x\sqrt{x}=5\sqrt{x}$，
$6\sqrt{\frac{x}{4}}=6×\frac{\sqrt{x}}{2}=3\sqrt{x}$，
$2x\sqrt{\frac{1}{x}}=2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}$，
则原式$=4\sqrt{x}+5\sqrt{x}-3\sqrt{x}-2\sqrt{x}$
$=(4 + 5-3-2)\sqrt{x}$
$=4\sqrt{x}$。
例2 计算：
(1)$5\sqrt{12}-\dfrac{3}{2}\sqrt{48}$；
(2)$\sqrt{32}+\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{8}$；
(3)$\sqrt{63}-5\sqrt{\dfrac{1}{10}}+3\sqrt{\dfrac{1}{7}}+\sqrt{40}$；
(4)$(2\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{12})+(\sqrt{1\dfrac{7}{25}}-\sqrt{0.5})$.
(1)$5\sqrt{12}-\dfrac{3}{2}\sqrt{48}$；
(2)$\sqrt{32}+\sqrt{\dfrac{1}{8}}-\sqrt{8}$；
(3)$\sqrt{63}-5\sqrt{\dfrac{1}{10}}+3\sqrt{\dfrac{1}{7}}+\sqrt{40}$；
(4)$(2\sqrt{\dfrac{1}{3}}+\sqrt{12})+(\sqrt{1\dfrac{7}{25}}-\sqrt{0.5})$.
答案
(1)
首先将各项化为最简二次根式：
$5\sqrt{12}=5\sqrt{4×3}=5×2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$；
$\frac{3}{2}\sqrt{48}=\frac{3}{2}\sqrt{16×3}=\frac{3}{2}×4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
则$5\sqrt{12}-\frac{3}{2}\sqrt{48}=10\sqrt{3}-6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
(2)
将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$；
$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1×2}{8×2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$。
则$\sqrt{32}+\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{8}=4\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}+\sqrt{2}-8\sqrt{2}}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$。
(3)
将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$；
$5\sqrt{\frac{1}{10}}=5×\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}$；
$3\sqrt{\frac{1}{7}}=3×\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$。
则$\sqrt{63}-5\sqrt{\frac{1}{10}}+3\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{40}=3\sqrt{7}-\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{3\sqrt{7}}{7}+2\sqrt{10}=\frac{21\sqrt{7}+3\sqrt{7}}{7}+\frac{4\sqrt{10}- \sqrt{10}}{2}=\frac{24\sqrt{7}}{7}+\frac{3\sqrt{10}}{2}$。
(4)
先将各项化为最简二次根式：
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
$\sqrt{1\frac{7}{25}}=\sqrt{\frac{32}{25}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{25}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$；
$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
则$(2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{12})+(\sqrt{1\frac{7}{25}}-\sqrt{0.5})=(\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3})+(\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{3}+\frac{8\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{10}=\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{2}}{10}$。
首先将各项化为最简二次根式：
$5\sqrt{12}=5\sqrt{4×3}=5×2\sqrt{3}=10\sqrt{3}$；
$\frac{3}{2}\sqrt{48}=\frac{3}{2}\sqrt{16×3}=\frac{3}{2}×4\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
则$5\sqrt{12}-\frac{3}{2}\sqrt{48}=10\sqrt{3}-6\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。
(2)
将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$；
$\sqrt{\frac{1}{8}}=\sqrt{\frac{1×2}{8×2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$；
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$。
则$\sqrt{32}+\sqrt{\frac{1}{8}}-\sqrt{8}=4\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}+\sqrt{2}-8\sqrt{2}}{4}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$。
(3)
将各项化为最简二次根式：
$\sqrt{63}=\sqrt{9×7}=3\sqrt{7}$；
$5\sqrt{\frac{1}{10}}=5×\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}$；
$3\sqrt{\frac{1}{7}}=3×\frac{\sqrt{7}}{7}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
$\sqrt{40}=\sqrt{4×10}=2\sqrt{10}$。
则$\sqrt{63}-5\sqrt{\frac{1}{10}}+3\sqrt{\frac{1}{7}}+\sqrt{40}=3\sqrt{7}-\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{3\sqrt{7}}{7}+2\sqrt{10}=\frac{21\sqrt{7}+3\sqrt{7}}{7}+\frac{4\sqrt{10}- \sqrt{10}}{2}=\frac{24\sqrt{7}}{7}+\frac{3\sqrt{10}}{2}$。
(4)
先将各项化为最简二次根式：
$2\sqrt{\frac{1}{3}}=2×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$；
$\sqrt{1\frac{7}{25}}=\sqrt{\frac{32}{25}}=\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{25}}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$；
$\sqrt{0.5}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
则$(2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{12})+(\sqrt{1\frac{7}{25}}-\sqrt{0.5})=(\frac{2\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{3})+(\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{2})=\frac{2\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{3}+\frac{8\sqrt{2}-5\sqrt{2}}{10}=\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{2}}{10}$。
