10. 如图，$OC$平分$∠ AOB$，$P$是射线$OC$上一点，$PM⊥ OB$于点$M$，$N$是射线$OA$上的一个动点。若$PM=5$，则$PN$的长不可能是 ()

A.5
B.6
C.7
D.4

10. D

11. (2024·常州)如图，在纸上画有$∠ AOB$，将两把相同的直尺按如图所示的方式摆放，直尺边缘的交点$P$在$∠ AOB$的平分线上，则 ()

A.$d_{1}$与$d_{2}$一定相等
B.$d_{1}$与$d_{2}$一定不相等
C.$l_{1}$与$l_{2}$一定相等
D.$l_{1}$与$l_{2}$一定不相等

11. A

12. (2024·云南)已知$AF$是等腰三角形$ABC$底边$BC$上的高，若点$F$到直线$AB$的距离为$3$，则点$F$到直线$AC$的距离为 ()

A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

12. C

13. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$。以点$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$，$AC$于点$M$，$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧在$△ ABC$的内部相交于点$P$，作射线$AP$交边$BC$于点$D$。若$CD=\frac{4}{3}$，$△ ABD$的面积为$\frac{10}{3}$，则线段$AB$的长为。

13. 5

14. 如图，在$△ ABC$中，点$O$为$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线的交点，$OD⊥ AB$，$OE⊥ AC$，$OF⊥ BC$，垂足分别为$D$，$E$，$F$。
（1）$OD$与$OE$是否相等？

（2）若$△ ABC$的周长是$30$，且$OF=3$，求$△ ABC$的面积。

14. 解：(1)相等. 理由如下：
∵BO 平分∠ABC，OD⊥AB，OF⊥BC，
∴OD = OF.
∵CO 平分∠ACB，OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE = OF.
∴OD = OE. (2)连接 OA. 由(1)，得 OD = OE = OF = 3.
∴$ S _ { △ A B C } = S _ { △ A O B } + S _ { △ B O C } + S _ { △ A O C } = \frac { 1 } { 2 } A B · O D + \frac { 1 } { 2 } B C · O F + \frac { 1 } { 2 } A C · O E = \frac { 1 } { 2 } ( A B + B C + A C ) · O F = \frac { 1 } { 2 } × 30 × 3 = 45 $.

15. 新考向 综合与实践【感知】
如图 1，$AD$平分$∠ BAC$，$∠ B=∠ C=90°$，易知：$DB=DC$。
【探究】
（1）如图 2，在四边形$ABDC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$∠ B=45°$，$∠ C=135°$，试探究$DB$与$DC$的数量关系。
【应用】
（2）如图 3，在四边形$ABDC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$∠ ABD+∠ ACD=180°$，$∠ ABD＜90°$，$DB$与$DC$的上述关系还成立吗？请说明理由。

15. 解：(1)过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 交 AC 的延长线于点 F.
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.
∵∠DCA = 135°，
∴∠DCF = 180° - ∠DCA = 45° = ∠B. 在△DCF 和△DBE 中，$\{ \begin{array} { l } { ∠ F = ∠ D E B }, \\ { ∠ D C F = ∠ B }, \\ { D F = D E }, \end{array} $
∴△DCF ≌△DBE(AAS).
∴DC = DB. (2)成立. 理由如下：过点 D 作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 交 AC 的延长线于点 N.
∵AD 平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM = DN.
∵∠B + ∠ACD = 180°，∠ACD + ∠NCD = 180°，
∴∠B = ∠NCD. 在△NCD 和△MBD 中，$\{ \begin{array} { l } { ∠ N = ∠ B M D }, \\ { ∠ N C D = ∠ B }, \\ { D N = D M }, \end{array} $
∴△NCD ≌△MBD(AAS).
∴DC = DB.