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1. 在“三分损益法”的计算中，假设将“宫”音作为基准音，其对应的发声管或弦长的长度数值为 $81$，试计算出其他四声音阶所对应的发声管或弦长的长度数值.
答案
1. 解：因为“宫”音长度为81，所以“徵”音长度为 $ 81 × \frac{2}{3} = 54 $，“商”音长度为 $ 54 × \frac{4}{3} = 72 $，“羽”音长度为 $ 72 × \frac{2}{3} = 48 $，“角”音长度为 $ 48 × \frac{4}{3} = 64 $。
解析
【解析】
根据三分损益法的计算规则，以宫音长度81为基准，按“三分损一（乘$\frac{2}{3}$）”和“三分益一（乘$\frac{4}{3}$）”交替计算：
1. 徵音长度：$81 × \frac{2}{3} = 54$；
2. 商音长度：$54 × \frac{4}{3} = 72$；
3. 羽音长度：$72 × \frac{2}{3} = 48$；
4. 角音长度：$48 × \frac{4}{3} = 64$。
【答案】
徵音：54，商音：72，羽音：48，角音：64
【知识点】
三分损益法
【点评】
本题考查三分损益法的实际应用，需掌握“三分损一”“三分益一”的计算规则，通过基准音长逐步推导其余音阶对应的长度。
【难度系数】
0.6
根据三分损益法的计算规则，以宫音长度81为基准，按“三分损一（乘$\frac{2}{3}$）”和“三分益一（乘$\frac{4}{3}$）”交替计算：
1. 徵音长度：$81 × \frac{2}{3} = 54$；
2. 商音长度：$54 × \frac{4}{3} = 72$；
3. 羽音长度：$72 × \frac{2}{3} = 48$；
4. 角音长度：$48 × \frac{4}{3} = 64$。
【答案】
徵音：54，商音：72，羽音：48，角音：64
【知识点】
三分损益法
【点评】
本题考查三分损益法的实际应用，需掌握“三分损一”“三分益一”的计算规则，通过基准音长逐步推导其余音阶对应的长度。
【难度系数】
0.6
2. 列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.
答案
2. 解：设基音频率为 $ f_0 $，高八度频率为 $ 2f_0 $，将两者之间的音程等分为12份，每份的频率比为 $ r $，则满足：$ f_0 × r^{12} = 2f_0 $，所以 $ r = \sqrt[12]{2} $，即相邻两个音的频率之比的值为 $ \sqrt[12]{2} $。
解析
【解析】
设基音频率为 $ f_0 $，高八度频率为 $ 2f_0 $，将两者之间的音程等分为12份，设相邻两个音的频率之比为 $ r $，则根据题意有：
$ f_0 × r^{12} = 2f_0 $
两边同时除以 $ f_0 $，可得 $ r^{12}=2 $，解得 $ r = \sqrt[12]{2} $。
【答案】
$ \sqrt[12]{2} $
【知识点】
十二平均律、等比数列通项
【点评】
本题考查十二平均律的基本原理，结合等比数列的通项公式求解相邻音的频率比，需要理解十二平均律中八度音程的频率关系，掌握开方运算的方法。
【难度系数】
0.4
设基音频率为 $ f_0 $，高八度频率为 $ 2f_0 $，将两者之间的音程等分为12份，设相邻两个音的频率之比为 $ r $，则根据题意有：
$ f_0 × r^{12} = 2f_0 $
两边同时除以 $ f_0 $，可得 $ r^{12}=2 $，解得 $ r = \sqrt[12]{2} $。
【答案】
$ \sqrt[12]{2} $
【知识点】
十二平均律、等比数列通项
【点评】
本题考查十二平均律的基本原理，结合等比数列的通项公式求解相邻音的频率比，需要理解十二平均律中八度音程的频率关系，掌握开方运算的方法。
【难度系数】
0.4
3. 根据以下音乐旋律，建立函数关系，使其反映出该段乐音的音高和音值的关系.
do do re re mi mi re, mi mi re re mi re do.
do do re re mi mi re, mi mi re re mi re do.
答案
3. 解：（答案不唯一）
步骤一：确定坐标轴的含义与刻度。
设横轴代表时间，以每个音符的时值为单位长度进行刻度划分，按照音符出现的先后顺序依次标记时间刻度（假设这里以四分音符的时值为1个单位长度，八分音符则为0.5个单位长度）。纵轴代表音高，确定一个音高基准（假设这里将“do”“re”“mi”音分别对应为1，2，3）。
步骤二：确定各音符对应的坐标点（这里取八分音符时间区间的中点来代表该音符的时间位置）。
从左到右，每个音符的坐标分别为 $ (0.25, 1) $，$ (0.75, 1) $，$ (1.25, 2) $，$ (1.75, 2) $，$ (2.25, 3) $，$ (2.75, 3) $，$ (3.25, 2) $，$ (3.75, 0) $（表示休止符），$ (4.25, 3) $，$ (4.75, 3) $，$ (5.25, 2) $，$ (5.75, 2) $，$ (6.25, 3) $，$ (6.75, 2) $，$ (7.5, 1) $。
步骤三：绘制函数曲线。
使用折线（因为音符音高在时间上是离散变化的）依次连接上述坐标点。这样就得到了该旋律有关音高和音值的函数曲线（如图所示）。
解析
【解析】
1. 确定坐标轴的含义与刻度：设定横轴为时间，以四分音符时值为1个单位长度（八分音符对应0.5个单位长度），按音符出现顺序标记时间刻度；纵轴为音高，将“do”“re”“mi”分别对应为1、2、3。
2. 确定各音符的坐标点：取八分音符时间区间的中点作为时间位置，依次得到各音符对应的坐标点（含休止符对应点）。
3. 绘制函数曲线：用折线连接所有坐标点，建立反映音高与音值的函数关系。
【答案】
（答案不唯一）
步骤一：确定坐标轴的含义与刻度。设横轴代表时间，以四分音符的时值为1个单位长度（八分音符为0.5个单位长度），按音符出现的先后顺序标记时间刻度；纵轴代表音高，将“do”“re”“mi”分别对应为1，2，3。
步骤二：确定各音符对应的坐标点（取八分音符时间区间的中点作为时间位置）：$(0.25, 1)$，$(0.75, 1)$，$(1.25, 2)$，$(1.75, 2)$，$(2.25, 3)$，$(2.75, 3)$，$(3.25, 2)$，$(3.75, 0)$（表示休止符），$(4.25, 3)$，$(4.75, 3)$，$(5.25, 2)$，$(5.75, 2)$，$(6.25, 3)$，$(6.75, 2)$，$(7.5, 1)$。
步骤三：用折线依次连接上述坐标点，得到反映该段乐音音高和音值关系的函数曲线。
【知识点】
函数实际应用，数学建模，音乐量化映射
【点评】
本题将音乐元素与数学函数结合，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，需理解函数概念并完成音乐到数学的转化，答案具有开放性。
【难度系数】
0.6
1. 确定坐标轴的含义与刻度：设定横轴为时间，以四分音符时值为1个单位长度（八分音符对应0.5个单位长度），按音符出现顺序标记时间刻度；纵轴为音高，将“do”“re”“mi”分别对应为1、2、3。
2. 确定各音符的坐标点：取八分音符时间区间的中点作为时间位置，依次得到各音符对应的坐标点（含休止符对应点）。
3. 绘制函数曲线：用折线连接所有坐标点，建立反映音高与音值的函数关系。
【答案】
（答案不唯一）
步骤一：确定坐标轴的含义与刻度。设横轴代表时间，以四分音符的时值为1个单位长度（八分音符为0.5个单位长度），按音符出现的先后顺序标记时间刻度；纵轴代表音高，将“do”“re”“mi”分别对应为1，2，3。
步骤二：确定各音符对应的坐标点（取八分音符时间区间的中点作为时间位置）：$(0.25, 1)$，$(0.75, 1)$，$(1.25, 2)$，$(1.75, 2)$，$(2.25, 3)$，$(2.75, 3)$，$(3.25, 2)$，$(3.75, 0)$（表示休止符），$(4.25, 3)$，$(4.75, 3)$，$(5.25, 2)$，$(5.75, 2)$，$(6.25, 3)$，$(6.75, 2)$，$(7.5, 1)$。
步骤三：用折线依次连接上述坐标点，得到反映该段乐音音高和音值关系的函数曲线。
【知识点】
函数实际应用，数学建模，音乐量化映射
【点评】
本题将音乐元素与数学函数结合，考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，需理解函数概念并完成音乐到数学的转化，答案具有开放性。
【难度系数】
0.6
