4. 在长方形 $ ABCD $ 中，$ AB = 3 $，$ BC = 4 $，动点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ A \to B \to C \to D $ 的方向运动到点 $ D $，如图，设动点 $ P $ 所经过的路程为 $ x $，$ △ APD $ 的面积为 $ y $（当点 $ P $ 与点 $ A $ 或点 $ D $ 重合时，$ y = 0 $）.
（1）写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数表达式；
（2）画出此函数的图象.

4. 解：(1)当点 $P$ 在 $AB$ 上运动，即 $0 ≤ x ＜ 3$ 时，$y = \frac{1}{2} × AD × AP = \frac{1}{2} × 4 × x = 2x$；当点 $P$ 在 $BC$ 上运动，即 $3 ≤ x ＜ 7$ 时，$y = \frac{1}{2} × AD × AB = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$；当点 $P$ 在 $CD$ 上运动，即 $7 ≤ x ≤ 10$ 时，$y = \frac{1}{2} × AD × PD = \frac{1}{2} × 4 × (10 - x) = -2x + 20$。
综上，$y = \begin{cases}2x(0 ≤ x ＜ 3), \\ 6(3 ≤ x ＜ 7), \\ -2x + 20(7 ≤ x ≤ 10).\end{cases}$
(2)画出函数图象如图。

5. $ A $ 市和 $ B $ 市分别有某种库存机器 $ 12 $ 台和 $ 6 $ 台. 现决定支援 $ C $ 村 $ 10 $ 台，支援 $ D $ 村 $ 8 $ 台. 已知从 $ A $ 市调运一台机器到 $ C $ 村和 $ D $ 村的运费分别是 $ 400 $ 元和 $ 800 $ 元，从 $ B $ 市调运一台机器到 $ C $ 村和 $ D $ 村的运费分别是 $ 300 $ 元和 $ 500 $ 元.
（1）设从 $ B $ 市运往 $ C $ 村 $ x $ 台机器，求总运费 $ w $（元）关于 $ x $ 的函数表达式；
（2）求出总运费最低的调运方案和最低运费.

5. 解：(1)由题意，得 $w = 300x + 500(6 - x) + 400(10 - x) + 800[8 - (6 - x)]$。
化简，得 $w = 200x + 8600(0 ≤ x ≤ 6$，且 $x$ 为整数)。故 $w$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 $w = 200x + 8600(0 ≤ x ≤ 6$，且 $x$ 为整数)。
(2)因为 $k = 200 ＞ 0$，所以 $w$ 随 $x$ 的增大而增大，所以当 $x = 0$ 时，$w$ 有最小值，为 $8600$ 元，即当从 $A$ 市调运 $10$ 台机器给 $C$ 村，调运 $2$ 台机器给 $D$ 村，从 $B$ 市调运 $6$ 台机器给 $D$ 村时，总运费最低，最低运费为 $8600$ 元。

6. 为了让学生拓展视野、丰富知识，加深与自然和文化的亲近感，某中学决定组织部分师生去某地开展研学旅行活动. 在参加此次活动的师生中，若每位老师带 $ 17 $ 个学生，则还剩 $ 12 $ 个学生没人带；若每位老师带 $ 18 $ 个学生，就有一位老师少带 $ 4 $ 个学生. 为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 $ 2 $ 名老师. 现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表.

(1)参加此次研学旅行活动的老师有人；学生有人；租用客车总数为辆.
(2)设租用 $ x $ 辆乙种客车，租车费用为 $ w $ 元，请写出 $ w $ 与 $ x $ 之间的函数表达式.
(3)在(2)的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 $ 3100 $ 元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.

6. 解：(1)设老师有 $x$ 人，学生有 $y$ 人。
依题意，列方程组 $\begin{cases}17x = y - 12, \\ 18x = y + 4,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 16, \\ y = 284.\end{cases}$
$\therefore$ 老师有 $16$ 名，学生有 $284$ 名，师生共 $284 + 16 = 300$ (人)。
$\because$ 每辆客车上至少要有 $2$ 名老师，$\therefore$ 汽车总数不能超过 $8$ 辆。
又要保证 $300$ 名师生有车坐，汽车总数不能小于 $\frac{300}{42} = \frac{50}{7}$ (取整数为 $8$ )辆。
$\therefore$ 汽车总数为 $8$ 辆。故答案为 $16$，$284$，$8$。
(2) $\because$ 租用 $x$ 辆乙种客车，$\therefore$ 租用甲种客车 $(8 - x)$ 辆，
$\therefore w = 400x + 300(8 - x) = 100x + 2400$。
(3) $\because$ 租车总费用不超过 $3100$ 元，$\therefore 100x + 2400 ≤ 3100$，解得 $x ≤ 7$。为使 $300$ 名师生都有座，$\therefore 42x + 30(8 - x) ≥ 300$，解得 $x ≥ 5$，
$\therefore 5 ≤ x ≤ 7$，$x$ 取整数为 $5$，$6$，$7$。
$\therefore$ 共有 $3$ 种租车方案。方案一：租用甲种客车 $3$ 辆，乙种客车 $5$ 辆；方案二：租用甲种客车 $2$ 辆，乙种客车 $6$ 辆；方案三：租用甲种客车 $1$ 辆，乙种客车 $7$ 辆。
由(2)得 $w = 100x + 2400$，$k = 100 ＞ 0$，可知 $w$ 随 $x$ 的增大而增大，$\therefore$ 当 $x = 5$ 时，$w_{\mathrm{最小}} = 2900$。
故最节省费用的租车方案是租用甲种客车 $3$ 辆，乙种客车 $5$ 辆。