11. 某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的形状是一个边长为 $ 10m $ 的正方形，计划扩大后绿化带的形状仍是一个正方形，并且其面积是原绿化带面积的 $ 4 $ 倍，求扩大后绿化带的边长。

原绿化带面积：$10×10 = 100(m^2)$
扩大后绿化带面积：$100×4 = 400(m^2)$
设扩大后绿化带的边长为$x m$，则$x^2 = 400$
解得$x = \sqrt{400} = 20$
答：扩大后绿化带的边长为$20m$。

12. 若 $ x $ 是 $ \sqrt{81} $ 的算术平方根，则 $ x $ 等于()。

A.$ 3 $
B.$ \pm3 $
C.$ 9 $
D.$ \pm9 $

A

首先，根据算术平方根的定义，计算出$\sqrt{81}=9$，因为$9^2=81$。
接着再计算$9$的算术平方根，即求$x$使得$x^2 = 9$且$x≥0$，得到$x = 3$。
因此$\sqrt{81}$的算术平方根是$3$。

13. 下列式子中，正确的是()。

A.$ \sqrt{(-3)^2} = -3 $
B.$ \sqrt{144} = \pm12 $
C.$ \sqrt{-8} = -2 $
D.$ -\sqrt{25} = -5 $

D

A 选项，计算 $\sqrt{(-3)^2}$，先计算 $(-3)^2 = 9$，再对 9 开平方，$\sqrt{9}=3$，不等于 $-3$，所以 A 选项错误。
B 选项，根据算术平方根的定义，$\sqrt{144}$ 表示 144 的算术平方根，应为正数，即 $\sqrt{144} = 12$，而不是 $\pm12$，所以 B 选项错误。
C 选项，在实数范围内，负数没有算术平方根，所以 $\sqrt{-8}$ 无意义，C 选项错误。
D 选项，先计算 $\sqrt{25}=5$，那么 $-\sqrt{25}=-5$，D 选项正确。

14. 已知 $ n $ 是正整数，$ \sqrt{24n} $ 是整数，$ n $ 的最小值为。

6

首先对24进行质因数分解，$24=2^{3}×3$，
则 $\sqrt{24n}=\sqrt{2^{3}×3× n}=\sqrt{2^{2}×2×3× n}=2\sqrt{6n}$，
要使$\sqrt{24n}$是整数，且$n$是正整数，那么$6n$必须是一个完全平方数，
因为$6=2×3$，要使$6n$为完全平方数，至少还需要一个因数$6$，此时$n = 6$时，$6n=6×6=36$，是完全平方数，
所以$n$的最小值为6。

15. 求下列各式的值：
(1) $ \sqrt{169} $；
(2) $ \sqrt{\frac{1}{36}} $；
(3) $ \sqrt{12\frac{1}{4}} $；
(4) $ \sqrt{(-0.1)^2} $。

(1)
解：根据算术平方根的定义，若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$，则这个数$x$叫做$a$的算术平方根。
因为$13^2 = 169$，
所以$\sqrt{169} = 13$。
(2)
解：因为$(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$，
所以$\sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$。
(3)
解：首先将混合数转换为真分数：$12\frac{1}{4} = \frac{49}{4}$。
因为$(\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$，
所以$\sqrt{12\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$。
(4)
解：首先计算$(-0.1)^2 = 0.01$。
因为$0.1^2 = 0.01$，
所以$\sqrt{(-0.1)^2} = \sqrt{0.01} = 0.1$。

16. 小明房间的面积为 $ 10.8m^2 $，房间地面可由 $ 120 $ 块相同的正方形地砖铺成（铺贴时地砖可切割），每块地砖的边长是多少？

解：设每块地砖的边长为 $ x $ 米。
由题意得：$ 120x^2 = 10.8 $
$ x^2 = 10.8 ÷ 120 $
$ x^2 = 0.09 $
$ x = \sqrt{0.09} $
$ x = 0.3 $
答：每块地砖的边长是 $ 0.3 $ 米。

17. 已知 $ 5a + 2 $ 的值为 $ 27 $，$ b - 1 $ 的算术平方根是 $ 4 $，$ c $ 是 $ | - 9| $ 的算术平方根，求 $ 3a - b + c $ 的值。

由$5a + 2 = 27$，
得$5a = 25$，
解得$a = 5$。
因为$b - 1$的算术平方根是$4$，
所以$b - 1 = 4^2$，
即$b - 1 = 16$，
解得$b = 17$。
因为$c$是$| - 9|$的算术平方根，
$| - 9|=9$，
所以$c = \sqrt{9} = 3$。
将$a = 5$，$b = 17$，$c = 3$代入$3a - b + c$，
得$3 × 5 - 17 + 3 = 15 - 17 + 3 = 1$。
综上，$3a - b + c$的值为$1$。

18. (推理能力)阅读下列解题过程：
$ \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2} $；
$ \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2} = \frac{2}{3} $；
$ \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{(\frac{3}{4})^2} = \frac{3}{4} $；$···$。
(1) $ \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = $，$ \sqrt{1 - \frac{15}{64}} = $；
(2) 观察上面的解题过程，则 $ \sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = $( $ n $ 为自然数)；
(3) 利用这一规律计算：
$ \sqrt{(1 - \frac{3}{4})(1 - \frac{5}{9})(1 - \frac{7}{16})···(1 - \frac{99}{2500})} $。

(1) $\frac{4}{5}$，$\frac{7}{8}$；
(2) $\frac{n}{n + 1}$；
(3) $\frac{1}{50}$。

(1) 计算 $\sqrt{1 - \frac{9}{25}}$：
$ \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{25 - 9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \sqrt{(\frac{4}{5})^2} = \frac{4}{5} $。
计算 $\sqrt{1 - \frac{15}{64}}$：
$ \sqrt{1 - \frac{15}{64}} = \sqrt{\frac{64 - 15}{64}} = \sqrt{\frac{49}{64}} = \sqrt{(\frac{7}{8})^2} = \frac{7}{8} $。
(2) 观察解题过程，推广到一般情况：
$ \sqrt{1 - \frac{2n + 1}{(n + 1)^2}} = \sqrt{\frac{(n + 1)^2 - (2n + 1)}{(n + 1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2 + 2n + 1 - 2n - 1}{(n + 1)^2}} = \sqrt{\frac{n^2}{(n + 1)^2}} = \frac{n}{n + 1} $。
(3) 利用规律计算：
题目给出连乘式：
$ \sqrt{(1 - \frac{3}{4})(1 - \frac{5}{9})(1 - \frac{7}{16}) ··· (1 - \frac{99}{2500})} $。
根据前面总结的规律，每一项可以表示为：
$ 1 - \frac{2k + 1}{(k + 1)^2} = \frac{k}{k + 1} $，其中 $k$ 从 1 开始。
于是连乘式可以写为：
$ \sqrt{(\frac{1}{2})(\frac{2}{3})(\frac{3}{4}) ··· (\frac{49}{50})(\frac{50}{51} \text（排除，原式到\frac{49}{50} 即可） )} $。
观察到分子分母的连乘会约分，最终结果为：
$ \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50的约分后形式}} =\frac{1}{50的最终形式（实际是连续约分）} = \frac{1}{50} × \sqrt{1（因为完全平方）} =\frac{1 ×1}{50} = \frac{1}{50} $（实际是连续约分后只剩下第一个分子和最后一个分母）。
实际计算为：
经过约分，中间项全部消去，最终剩下：
$ \frac{1}{50} $。