9.2.2 用坐标表示平移
课前预习
1. 平面直角坐标系中点的平移
一般地，在平面直角坐标系中，将点$(x,y)$向右(或左)平移$a$个单位长度，可以得到对应点(或)；将点$(x,y)$向上(或下)平移$b$个单位长度，可以得到对应点(或)。即“上下纵变，左右横变，上加下减，左减右加”。
2. 平面直角坐标系中图形的平移

课堂探究
探究点1 点在坐标系中的平移

1. 对于点的平移：
将点$(x,y)$向右平移$a$个单位长度，根据“左减右加”，横坐标加$a$，纵坐标不变，得到对应点$(x + a,y)$；
将点$(x,y)$向左平移$a$个单位长度，横坐标减$a$，纵坐标不变，得到对应点$(x - a,y)$；
将点$(x,y)$向上平移$b$个单位长度，根据“上加下减”，纵坐标加$b$，横坐标不变，得到对应点$(x,y + b)$；
将点$(x,y)$向下平移$b$个单位长度，纵坐标减$b$，横坐标不变，得到对应点$(x,y - b)$。
2. 对于图形的平移：
如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数$a$，根据“左减右加”，相应的新图形可以看作把原图形向右（或左）平移$a$个单位长度得到；
如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数$b$，根据“上加下减”，相应的新图形可以看作把原图形向上（或下）平移$b$个单位长度得到。
故答案依次为：$(x + a,y)$；$(x - a,y)$；$(x,y + b)$；$(x,y - b)$；右；左；上；下。

【例1】如图，平面直角坐标系中有一点$A(4,5)$。
(1) 把点$A(4,5)$向右平移$1$个单位长度到达点$A_1$，则点$A_1$的坐标为；
(2) 把点$A(4,5)$向左平移$5$个单位长度到达点$A_2$，则点$A_2$的坐标为；
(3) 把点$A(4,5)$向上平移$1$个单位长度到达点$A_3$，则点$A_3$的坐标为；
(4) 把点$A(4,5)$向下平移$4$个单位长度到达点$A_4$，则点$A_4$的坐标为。

(1) (5,5)
(2) (-1,5)
(3) (4,6)
(4) (4,1)

【变式1】点$A(1,2)$先向右平移$2$个单位长度，再向下平移$1$个单位长度得到点$A'$，则点$A'$的坐标是()。

A.$(3,3)$
B.$(-1,3)$
C.$(-1,-1)$
D.$(3,1)$

D

已知点$A(1,2)$，向右平移$2$个单位长度，横坐标增加$2$，则临时坐标为$(1 + 2,2)=(3,2)$；再向下平移$1$个单位长度，纵坐标减少$1$，得到点$A'$的坐标为$(3,2 - 1)=(3,1)$。

【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知$A$，$B$，$C$三点的坐标分别为$(-1,5)$，$(-3,0)$，$(-4,3)$。
(1) 画出把三角形$ABC$先向右平移$6$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度得到的三角形$A'B'C'$；
(2) 写出平移后三角形$A'B'C'$的各顶点的坐标；
(3) 求三角形$A'B'C'$的面积$S$。

(1) （此处需在坐标系中画出平移后的三角形，由于文本限制无法直接画图，实际作答时应在给定坐标系中完成作图）
(2) $A'(5,6)$，$B'(3,1)$，$C'(2,4)$
(3) 以$A'(5,6)$，$B'(3,1)$，$C'(2,4)$为顶点，使用割补法：
矩形面积：$(5-2)×(6-1)=3×5=15$
三个三角形面积和：$\frac{1}{2}×(5-3)×(6-1)+\frac{1}{2}×(3-2)×(4-1)+\frac{1}{2}×(5-2)×(6-4)$
$=\frac{1}{2}×2×5+\frac{1}{2}×1×3+\frac{1}{2}×3×2$
$=5 + 1.5 + 3 = 9.5$
$S=15 - 9.5 = 5.5$，即$S=\frac{11}{2}$