第 2 课时 用加减法解复杂的二元一次方程组
课前预习
1. 加减法解二元一次方程组的一般步骤
(1) 化：将两个方程中同一个未知数的系数化成；
(2) 加（减）：将两个方程两边分别消去这个未知数，得到一个一元一次方程；
(3) 解：解这个，得到一个未知数的值；
(4) 代：将得到的未知数的值代回方程组中的一个方程求另一个未知数的值。
2. 加减法和代入法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同，应根据方程组的具体情况，选择适合它的解法。
课堂探究
探究点 1 用加减消元法解复杂的二元一次方程组

1.
(1) 绝对值相等（或相等或互为相反数）；
(2) 相加或相减；
(3) 一元一次方程；
2. 消元。

【例 1】用加减法解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3x + 4y = 3, \\ 6x - 2y = 1;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}5x + 4y = 6, \\ 2x + 3y = 1.\end{cases}$
方法点拨
方程组中任意一个未知数的系数既不相等也不互为相反数时，若某个未知数的系数成倍数关系，将其中一个方程两边都乘这个倍数后就可以用加减消元法求解；若任意一个未知数的系数不成倍数关系，可用最小公倍数的知识，分别把两个方程的两边同乘一个适当的数，使得某个未知数的系数相等或互为相反数，然后再利用加减消元法求解。

(1)
$\begin{cases}3x + 4y = 3, ①\\6x - 2y = 1. ②\end{cases}$
$②×2$得：$12x - 4y = 2$ $③$
$①+③$得：$15x = 5$
解得：$x = \frac{1}{3}$
把$x = \frac{1}{3}$代入$①$得：$3×\frac{1}{3}+ 4y = 3$
$1 + 4y = 3$
$4y = 2$
$y = \frac{1}{2}$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{1}{3}, \\y = \frac{1}{2}. \end{cases}$
(2)
$\begin{cases}5x + 4y = 6, ①\\2x + 3y = 1. ②\end{cases}$
$①×3$得：$15x + 12y = 18$ $③$
$②×4$得：$8x + 12y = 4$ $④$
$③ - ④$得：$7x = 14$
解得：$x = 2$
把$x = 2$代入$①$得：$5×2+ 4y = 6$
$10 + 4y = 6$
$4y = -4$
$y = -1$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = -1. \end{cases}$

【变式 1】已知方程组$\begin{cases}3x - 5y = 6,① \\ 2x - 3y = 4,②\end{cases}$由②×3 - ①×2，所得方程正确的是( )。

A.$-3y = 2$
B.$4y + 1 = 0$
C.$y = 0$
D.$7y = -8$

C

将方程②乘以3，方程①乘以2，
$②×3$得：$6x-9y=12$，
$①×2$得：$6x-10y=12$，
根据$②×3 - ①×2$得：$(6x-9y)-(6x-10y)=12-12$，
简化得：$y=0$，对应选项C。

【变式 2】用加减消元法解二元一次方程组$\begin{cases}x - y = 5,① \\ 2x - 3y = 3②\end{cases}$时，下列方法中能消元的是( )。

A.①×2 + ②
B.①×(-2) - ②
C.①×3 + ②
D.①×(-3) + ②

D

要消去x，①×2得2x - 2y = 10，与②相减可消x；要消去y，①×3得3x - 3y = 15，与②相减可消y，或①×(-3)得-3x + 3y = -15，与②相加可消y。选项D中①×(-3) + ②：(-3x + 3y) + (2x - 3y) = -15 + 3，即 -x = -12，能消去y。