1. 如图，秋千链子的长度为3m，当秋千向两侧摆动时，两侧的摆动角度均为$30^{\circ}$.求它摆动至最高位置与最低位置的高度之差(精确到0.1m).

​解：令秋千的最低位置为点C ，过点A作AD⊥OC ，如图所示.​
​由题意得， OA=OB=OC=3m​
​在Rt△AOD中， ​
​因为OA=3m ，∠AOD=30°​
​所以$OD= OA×cos_{30}° =\frac {3\sqrt{3}}{2}m​$
$​CD=OC-OD=3-\frac {3\sqrt{3}}{2}≈0.4m​$
​即秋千摆动至最高位置与最低位置的高度之差为0.4m​

2. 某大型超市为方便顾客购物，准备在一楼至二楼之间安装自动扶梯(如图)，楼顶与地面平行.要使身高2m以下的人在笔直站立的情况下搭乘自动扶梯时，在B处不碰到头部.请你计算：自动扶梯与一楼地面的夹角α最小为多少度.

3. 为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站.如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，充电站有若干矩形停车位，所有停车位大小相同且并列排放，图中的矩形ABCD是其中一个停车位.经测量，$\angle ABQ=60^{\circ}$，$AB=5.4m$，$CE=1.6m$，$GH⊥ CD$.
(1)求PQ的长；
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.

解:连接​BC ，​作​BE⊥BC，​​BE​与​AC​交于点​E​
由题意得, 
​BC//AD ，$ BC=2\sqrt{3}m，$​​BE=2m​
在​Rt△CBE​中,
因为$​BC=2\sqrt{3}m，$​​BE=2m​
所以$​tan∠BCE =\frac {BE}{BC}=\frac {2}{2\sqrt{3}}=\frac {\sqrt{3}}{3}​$
所以​∠BCE= 30°​
因为​BC//AD​
所以​α=∠BCE=30°​
答:自动扶梯与一楼底面的夹角​a​最小为​30°
​

解:(1)∵四边形PQMN是矩形，
∴∠Q=∠P=90°,
∵在Rt△ABQ中$,∠ABQ=60°,AB=5.4\mathrm {m},$
∴$AQ=AB·sin∠ABQ=\frac{27\sqrt{3}}{10}(\mathrm {m}),∠QAB=30°.$
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
∴∠CBE=30°，
∴$BC=\frac{CE}{tan∠CBE}=\frac{8\sqrt{3}}{5}(\mathrm {m})，$
∴$AD=\frac{8\sqrt{3}}{5}\ \mathrm {m}.$
∵∠PAD=180°-30°-90°=60°,
∴$AP=AD×cos∠PAD=\frac{4\sqrt{3}}{5}(\mathrm {m})，$
∴$PQ=AP+AQ=\frac{7\sqrt{3}}{2}(\mathrm {m})$
∴PQ的长为$\frac{7\sqrt{3}}{2}\mathrm {m}$

4. 如图①，在水平地面上，一辆小车通过一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置如图②，此时测得点A到BC所在直线的距离$AC=3m$，$\angle CAB=60^{\circ}$；停止位置如图③，此时测得$\angle CDB=30^{\circ}$，点C、A、D在同一条直线上.
(1)求AB的长；
(2)求物体上升的高度CE.

解:(2)在Rt△BCE中$,BE=\frac{CE}{sin∠CBE}=3.2(\mathrm {m})，$
在Rt∠ABQ中$,BQ=AB.cos∠ABQ=2.7(\mathrm {m})，$
∵该充电站有20个停车位，
∴$QM=QB+20BE=66.7(\mathrm {m}).$
∵四边形PQMN是矩形，
∴PN=QM=66.7m
∴PN的长为66.7m
解:(1)在Rt△ABC中，AC=3m，∠CAB=60°
∴∠ABC=30°,
∴AB=2AC=6m，则AB的长为6m
(2)在Rt△ABC中，AB=6m，AC=3m
根据勾股定理得$BC= \sqrt{AB²-AC²}=3\sqrt{3}m$
在Rt△BCD中$,∠CDB=30°,sin{30}°=\frac{1}{2}$
∴$sin∠CDB=\frac{BC}{BD}，$即$\frac{3\sqrt{3}}{BD}=\frac{1}{2}，$
∴$BD=6\sqrt{3}m$
∴$CE=BD-BA=(6\sqrt{3}-6)m$
则物体上升的高度CE为$(6\sqrt{3}-6)m$