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1. 某公司准备在一个长 13 m，高 5 m 的台阶上铺设地毯(如图).若台阶的宽为 4 m，地毯的价格为 120 元/m²，则购买地毯需花费元.
答案
解：由勾股定理，台阶水平总长度为：$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{m}$。
地毯在台阶侧面的总长度为水平长度与垂直高度之和：$12 + 5 = 17\ \mathrm{m}$。
地毯面积为：$17 × 4 = 68\ \mathrm{m}^2$。
总花费为：$68 × 120 = 8160$元。
8160
地毯在台阶侧面的总长度为水平长度与垂直高度之和：$12 + 5 = 17\ \mathrm{m}$。
地毯面积为：$17 × 4 = 68\ \mathrm{m}^2$。
总花费为：$68 × 120 = 8160$元。
8160
2. 在图示正方形网格中，∠ABC=.(A，B，C 是网格线的交点)
答案
1. 设网格中每个小正方形边长为1，计算△ABC各边长度的平方：
设点A、B、C坐标分别为A(1,2)、B(0,0)、C(2,-1)（根据网格交点特征假设）。
AB²=(1-0)²+(2-0)²=1+4=5；
BC²=(2-0)²+(-1-0)²=4+1=5；
AC²=(1-2)²+(2+1)²=1+9=10。
2. 验证勾股定理逆定理：AB² + BC²=5+5=10=AC²，故△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°。
90°
设点A、B、C坐标分别为A(1,2)、B(0,0)、C(2,-1)（根据网格交点特征假设）。
AB²=(1-0)²+(2-0)²=1+4=5；
BC²=(2-0)²+(-1-0)²=4+1=5；
AC²=(1-2)²+(2+1)²=1+9=10。
2. 验证勾股定理逆定理：AB² + BC²=5+5=10=AC²，故△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°。
90°
3. 如图，某小区的两个喷泉 A，B 位于小路 AC 的同侧，两个喷泉之间的距离 AB 的长为 250 m.现要为喷泉铺设供水管道 AM，BM，供水点 M 在小路 AC 上，供水点 M 到 AB 的距离 MN 的长为 120 m，BM 的长为 150 m.
（1）求供水点 M 到喷泉 A 需要铺设的管道长；
（2）试说明∠BMA=90°.
（1）求供水点 M 到喷泉 A 需要铺设的管道长；
（2）试说明∠BMA=90°.
答案
（1）在Rt△BNM中，BN² + MN² = BM²，MN=120m，BM=150m，
BN² = 150² - 120² = 22500 - 14400 = 8100，∴BN=90m.
∵AB=250m，∴AN=AB - BN=250 - 90=160m.
在Rt△ANM中，AM² = AN² + MN² = 160² + 120² = 25600 + 14400 = 40000，∴AM=200m.
（2）∵AM=200m，BM=150m，AB=250m，
AM² + BM² = 200² + 150² = 40000 + 22500 = 62500，AB²=250²=62500，
∴AM² + BM²=AB²，∴△AMB是直角三角形，∠BMA=90°.
BN² = 150² - 120² = 22500 - 14400 = 8100，∴BN=90m.
∵AB=250m，∴AN=AB - BN=250 - 90=160m.
在Rt△ANM中，AM² = AN² + MN² = 160² + 120² = 25600 + 14400 = 40000，∴AM=200m.
（2）∵AM=200m，BM=150m，AB=250m，
AM² + BM² = 200² + 150² = 40000 + 22500 = 62500，AB²=250²=62500，
∴AM² + BM²=AB²，∴△AMB是直角三角形，∠BMA=90°.
4. 提升题 已知 m，x，y 均为正整数，且 x≠y.当 m=x²+y² 时，我们称正整数 m 为“可媲美勾股数”，把 x 与 y 的积称为 m 的“勾股值”，用 A(m)表示，即 A(m)=xy.例如：13=3²+2²，A(13)=3×2=6，13 就是一个“可媲美勾股数”，6 是 13 的“勾股值”.
(1)下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有(填序号).
①5；②25；③49.
(2)求 A(65)−A(20)的值.
(3)已知正整数 m 为“可媲美勾股数”，且满足 18＜m＜60，m 的“勾股值”为$\frac{m−9}{2}$，求 m 的值.
(1)下列各数中，属于“可媲美勾股数”的有(填序号).
①5；②25；③49.
(2)求 A(65)−A(20)的值.
(3)已知正整数 m 为“可媲美勾股数”，且满足 18＜m＜60，m 的“勾股值”为$\frac{m−9}{2}$，求 m 的值.
答案
(1)
①因为$5 = 1^{2}+2^{2}$，所以$5$是“可媲美勾股数”；
②因为$25=3^{2} + 4^{2}=15+16$（这里按定义应是两数平方和形式，$3^{2}+4^{2}=25$满足），所以$25$是“可媲美勾股数”；
③因为$49$不能写成两个正整数平方和的形式，所以$49$不是“可媲美勾股数”。
故属于“可媲美勾股数”的有①②。
(2)
因为$65 = 1^{2}+8^{2}=4^{2}+7^{2}$，根据定义$A(65)=1×8 = 4×7=28 - 8（取一种计算即可，这里取4×7 = 28）$，$A(65)=4×7 = 28$；
因为$20=2^{2}+4^{2}$，所以$A(20)=2×4 = 8$。
则$A(65)-A(20)=28 - 8=20$。
(3)
设$m=x^{2}+y^{2}$，$A(m)=xy=\frac{m - 9}{2}$，把$m=x^{2}+y^{2}$代入$xy=\frac{m - 9}{2}$可得：
$2xy=x^{2}+y^{2}-9$，移项得$x^{2}-2xy + y^{2}=9$，根据完全平方公式$(x - y)^{2}=9$。
因为$x$，$y$为正整数且$x≠ y$，所以$x - y = 3$，即$x=y + 3$。
把$x=y + 3$代入$m=x^{2}+y^{2}$，$m=(y + 3)^{2}+y^{2}=y^{2}+6y + 9+y^{2}=2y^{2}+6y + 9$。
因为$18＜ m＜60$，所以$18＜2y^{2}+6y + 9＜60$。
先解$2y^{2}+6y + 9＞18$，即$2y^{2}+6y - 9＞0$，$y^{2}+3y-\frac{9}{2}＞0$，对于一元二次方程$y^{2}+3y-\frac{9}{2}=0$，其判别式$\Delta = 3^{2}-4×1×(-\frac{9}{2})=9 + 18 = 27$，$y=\frac{-3\pm\sqrt{27}}{2}=\frac{-3\pm3\sqrt{3}}{2}$，$y＞\frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}\approx1.098$或$y＜\frac{-3 - 3\sqrt{3}}{2}$（舍去）。
再解$2y^{2}+6y + 9＜60$，即$2y^{2}+6y - 51＜0$，$y^{2}+3y-\frac{51}{2}＜0$，对于一元二次方程$y^{2}+3y-\frac{51}{2}=0$，$\Delta=3^{2}-4×1×(-\frac{51}{2})=9 + 102 = 111$，$y=\frac{-3\pm\sqrt{111}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{111}}{2}＜ y＜\frac{-3 + \sqrt{111}}{2}\approx5.26$。
因为$y$为正整数，所以$y$可能取值为$2$，$3$，$4$，$5$。
当$y = 2$时，$x=y + 3=5$，$m=x^{2}+y^{2}=25 + 4=29$，$A(m)=2×5 = 10$，$\frac{m - 9}{2}=\frac{29 - 9}{2}=10$，符合题意。
当$y = 3$时，$x=y + 3=6$，$m=x^{2}+y^{2}=36+9 = 45$，$A(m)=3×6 = 18$，$\frac{m - 9}{2}=\frac{45 - 9}{2}=18$，符合题意。
当$y = 4$时，$x=y + 3=7$，$m=x^{2}+y^{2}=49 + 16=65＞60$，舍去。
当$y = 5$时，$x=y + 3=8$，$m=x^{2}+y^{2}=64 + 25=89＞60$，舍去。
所以$m$的值为$29$或$45$。
综上，答案依次为：(1)①②；(2)$20$；(3)$29$或$45$。
①因为$5 = 1^{2}+2^{2}$，所以$5$是“可媲美勾股数”；
②因为$25=3^{2} + 4^{2}=15+16$（这里按定义应是两数平方和形式，$3^{2}+4^{2}=25$满足），所以$25$是“可媲美勾股数”；
③因为$49$不能写成两个正整数平方和的形式，所以$49$不是“可媲美勾股数”。
故属于“可媲美勾股数”的有①②。
(2)
因为$65 = 1^{2}+8^{2}=4^{2}+7^{2}$，根据定义$A(65)=1×8 = 4×7=28 - 8（取一种计算即可，这里取4×7 = 28）$，$A(65)=4×7 = 28$；
因为$20=2^{2}+4^{2}$，所以$A(20)=2×4 = 8$。
则$A(65)-A(20)=28 - 8=20$。
(3)
设$m=x^{2}+y^{2}$，$A(m)=xy=\frac{m - 9}{2}$，把$m=x^{2}+y^{2}$代入$xy=\frac{m - 9}{2}$可得：
$2xy=x^{2}+y^{2}-9$，移项得$x^{2}-2xy + y^{2}=9$，根据完全平方公式$(x - y)^{2}=9$。
因为$x$，$y$为正整数且$x≠ y$，所以$x - y = 3$，即$x=y + 3$。
把$x=y + 3$代入$m=x^{2}+y^{2}$，$m=(y + 3)^{2}+y^{2}=y^{2}+6y + 9+y^{2}=2y^{2}+6y + 9$。
因为$18＜ m＜60$，所以$18＜2y^{2}+6y + 9＜60$。
先解$2y^{2}+6y + 9＞18$，即$2y^{2}+6y - 9＞0$，$y^{2}+3y-\frac{9}{2}＞0$，对于一元二次方程$y^{2}+3y-\frac{9}{2}=0$，其判别式$\Delta = 3^{2}-4×1×(-\frac{9}{2})=9 + 18 = 27$，$y=\frac{-3\pm\sqrt{27}}{2}=\frac{-3\pm3\sqrt{3}}{2}$，$y＞\frac{-3 + 3\sqrt{3}}{2}\approx1.098$或$y＜\frac{-3 - 3\sqrt{3}}{2}$（舍去）。
再解$2y^{2}+6y + 9＜60$，即$2y^{2}+6y - 51＜0$，$y^{2}+3y-\frac{51}{2}＜0$，对于一元二次方程$y^{2}+3y-\frac{51}{2}=0$，$\Delta=3^{2}-4×1×(-\frac{51}{2})=9 + 102 = 111$，$y=\frac{-3\pm\sqrt{111}}{2}$，$\frac{-3-\sqrt{111}}{2}＜ y＜\frac{-3 + \sqrt{111}}{2}\approx5.26$。
因为$y$为正整数，所以$y$可能取值为$2$，$3$，$4$，$5$。
当$y = 2$时，$x=y + 3=5$，$m=x^{2}+y^{2}=25 + 4=29$，$A(m)=2×5 = 10$，$\frac{m - 9}{2}=\frac{29 - 9}{2}=10$，符合题意。
当$y = 3$时，$x=y + 3=6$，$m=x^{2}+y^{2}=36+9 = 45$，$A(m)=3×6 = 18$，$\frac{m - 9}{2}=\frac{45 - 9}{2}=18$，符合题意。
当$y = 4$时，$x=y + 3=7$，$m=x^{2}+y^{2}=49 + 16=65＞60$，舍去。
当$y = 5$时，$x=y + 3=8$，$m=x^{2}+y^{2}=64 + 25=89＞60$，舍去。
所以$m$的值为$29$或$45$。
综上，答案依次为：(1)①②；(2)$20$；(3)$29$或$45$。
