11. 如图，在长方形$ABCD$中，$E$为$AB$的中点，以$BE$为边作正方形$BEFG$，边$EF$交$CD$于点$H$，在边$BE$上取点$M$使$BM = BC$，作$MN // BG$交$CD$于点$L$，交$FG$于点$N$。欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$，连结$AC$，记$△ ABC$的面积为$S_{1}$，图中阴影部分的面积为$S_{2}$。若$a = 3b$，则$\frac{S_{1}}{S_{2}}$的值为()


A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{7}{18}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{5}{4}$

11. C

【分析】
要解决这个问题，我们需要先分别求出△ABC的面积$S_1$和阴影部分的面积$S_2$，再根据$a=3b$计算它们的比值。具体思路如下：
1. 先根据图形中的边长关系，确定长方形ABCD的长和宽，进而推导$S_1$的表达式；
2. 结合欧几里得的图形解释$(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$，分析得出阴影部分面积$S_2$的表达式；
3. 将$a=3b$代入$S_1$和$S_2$的表达式，计算两者的比值，匹配对应选项。
【解析】
步骤1：推导$S_1$的表达式
已知E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，因此$BE=a$，$AB=2BE=2a$；
又因为$BM=BC$，且$BM=BE-EM=a-b$，所以$BC=a-b$。
△ABC是长方形ABCD的一半，因此：
$S_1=\frac{1}{2} × AB × BC=\frac{1}{2} × 2a × (a-b)=a(a-b)$
步骤2：推导$S_2$的表达式
根据图形结合平方差公式的几何意义，阴影部分面积为正方形BEFG的面积减去小正方形的面积，即：
$S_2=a^2 - b^2$
步骤3：代入$a=3b$计算比值
将$a=3b$代入$S_1$：
$S_1=3b(3b - b)=3b × 2b=6b^2$
将$a=3b$代入$S_2$：
$S_2=(3b)^2 - b^2=9b^2 - b^2=8b^2$
则$\frac{S_1}{S_2}=\frac{6b^2}{8b^2}=\frac{3}{4}$
【答案】
C
【知识点】
1. 多边形面积公式
2. 平方差公式几何意义
3. 代数式求值
【点评】
本题结合几何图形考查平方差公式的几何意义，同时涉及三角形、长方形、正方形的面积计算，需要准确梳理图形中的边长关系，通过代数代入的方法计算比值，对几何图形的分析能力和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

12. 计算：$(5 + 1)(5^{2} + 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} =$。

12. $ \frac{5^{32}}{4} $ 【解析】原式 $ = \frac{1}{4}(5 - 1)(5 + 1)(5^{2} + 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{2} - 1)(5^{2} + 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{4} - 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{8} - 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{16} - 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{32} - 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{5^{32}}{4} $。

【分析】
这道题直接展开计算会非常复杂，观察式子特征发现，每个括号内都是5的幂次加1，且相邻幂次呈2倍关系，符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的应用条件。我们可以构造出$(5-1)$这个因子，由于$(5-1)=4$，给原式乘以$\frac{1}{4}(5-1)$不会改变原式的值，之后就能连续使用平方差公式逐步化简，最后加上$\frac{1}{4}$即可得到结果。
【解析】
原式$ = \frac{1}{4}(5 - 1)(5 + 1)(5^{2} + 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{2} - 1)(5^{2} + 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{4} - 1)(5^{4} + 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{8} - 1)(5^{8} + 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{16} - 1)(5^{16} + 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{1}{4}(5^{32} - 1) + \frac{1}{4} $
$ = \frac{5^{32}}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} $
$ = \frac{5^{32}}{4} $
【答案】
$\frac{5^{32}}{4}$
【知识点】
平方差公式，整式化简
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，关键在于通过构造合适的因子将复杂乘法转化为可连续使用平方差公式的形式，有效简化计算过程，考验学生观察式子特征、灵活运用公式的能力。
【难度系数】
0.3

13. 先化简，再求值：$(2x - y)(y + 2x) - (2y + x)(2y - x)$，其中$x = 1$，$y = 2$。

13. 解：$ (2x - y)(y + 2x) - (2y + x)(2y - x) $
$ = 4x^{2} - y^{2} - (4y^{2} - x^{2}) $
$ = 4x^{2} - y^{2} - 4y^{2} + x^{2} $
$ = 5x^{2} - 5y^{2} $。
当 $ x = 1 $，$ y = 2 $ 时，原式 $ = 5 × 1^{2} - 5 × 2^{2} = 5 - 20 = -15 $。

【分析】
这道题是先化简再求值的题型，解题思路是先利用平方差公式对两个乘积项展开，观察发现两个乘积式均符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式；展开后注意去括号时的符号变化，再合并同类项得到最简整式，最后将给定的$x=1$，$y=2$代入最简式计算结果。具体思考步骤：首先把$(2x - y)(y + 2x)$变形为$(2x - y)(2x + y)$，用平方差公式展开得到$4x^2 - y^2$；再把$(2y + x)(2y - x)$用平方差公式展开得到$4y^2 - x^2$，处理前面的减号时要注意去括号变号，之后合并同类项得到最简式，最后代入数值计算。
【解析】
解：$(2x - y)(y + 2x) - (2y + x)(2y - x)$
$=(2x - y)(2x + y) - [(2y)^2 - x^2]$
$=4x^2 - y^2 - (4y^2 - x^2)$
$=4x^2 - y^2 - 4y^2 + x^2$
$=5x^2 - 5y^2$
当$x = 1$，$y = 2$时，
原式$=5×1^2 - 5×2^2 = 5 - 20 = -15$
【答案】
-15
【知识点】
平方差公式，整式化简求值
【点评】
本题主要考查平方差公式的应用及整式的化简求值，解题关键是准确识别平方差公式的形式，去括号时注意符号变化，代入求值时仔细计算，属于基础题型，熟练掌握公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

14. 如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为$a$，$b$的正方形秧田$A$，$B$，其中不能使用的阴影部分的面积为$M$。

(1)用含$a$，$M$的代数式表示$A$中能使用的面积为。
(2)若$a + b = 10$，$a - b = 5$，求$A$比$B$多出的使用面积。

14. 解：(1) $ a^{2} - M $
(2) $ B $ 中能使用的面积为 $ b^{2} - M $，
则 $ A $ 比 $ B $ 多出的使用面积为 $ a^{2} - M - (b^{2} - M) = a^{2} - b^{2} $。
因为 $ a + b = 10 $，$ a - b = 5 $，
所以 $ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) = 10 × 5 = 50 $，
所以 $ A $ 比 $ B $ 多出的使用面积为 50。

【分析】
(1) 首先，正方形A的总面积根据正方形面积公式可得为$a^2$，阴影部分面积为M是不能使用的，那么A中能使用的面积就是正方形A的总面积减去阴影部分的面积，由此可得出表达式。
(2) 先同理得出正方形B中能使用的面积为$b^2 - M$，然后计算A比B多出的使用面积，即A的可用面积减去B的可用面积，化简后得到$a^2 - b^2$，再利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入已知的$a+b=10$和$a-b=5$，即可求出结果。
【解析】
(1) 正方形A的面积为$a^2$，阴影部分面积为M，所以A中能使用的面积为$a^2 - M$。
(2) 正方形B的面积为$b^2$，则B中能使用的面积为$b^2 - M$。
A比B多出的使用面积为：
$\begin{aligned}&(a^2 - M) - (b^2 - M)\\=&a^2 - M - b^2 + M\\=&a^2 - b^2\end{aligned}$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，已知$a + b = 10$，$a - b = 5$，代入得：
$(a+b)(a-b)=10×5=50$
即A比B多出的使用面积为50。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - M}$；(2) $\boldsymbol{50}$
【知识点】
正方形面积公式，平方差公式，代数式化简
【点评】
本题主要考查正方形面积的计算和平方差公式的应用，解题关键是理解可用面积的计算方法，通过化简代数式将复杂运算转化为已知条件的代入计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.7