综合与实践 基本图形的深入探究
学习本章内容后,课下小明对本章的基本图形进行了深入探究,并提出了以下问题,请各小组同学共同解决。
如图1,直线$AB// CD$,点$E,F$分别在直线$AB,CD$上,连接$EF$,把平面分成①②③④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分。当动点$P$落在某个部分时,连接$PE,PF$,构成$∠ AEP$, $∠ EPF,∠ PFC$三个角。(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是$0°$)

(1)【探索发现】如图2,当动点$P$落在第①部分时,试说明:$∠ EPF=∠ AEP+∠ PFC$。

(2)【类比迁移】如图3,当动点$P$落在第②部分时,$∠ AEP,∠ EPF$, $∠ PFC$之间的数量关系为。

(3)【结论应用】结合图2与图3的情形,若$∠ PEB,∠ PFD$的平分线交于点$Q$,且$∠ EPF=70°$,求$∠ EQF$的度数。

(4)【拓展延伸】当动点$P$落在第③部分时,画出图形,请全面探究$∠ PEB,∠ EPF,∠ PFD$之间的关系,并写出动点$P$的具体位置和相应的结论。选择其中一种结论进行说明。

综合与实践 基本图形的深入探究
(1)过点 P 作$PH// AB$,则$∠AEP=∠EPH$。

因为$AB// CD$,
所以$PH// CD$。
所以$∠HPF=∠PFC$。
因为$∠EPF=∠EPH+∠HPF$,
所以$∠EPF=∠AEP+∠PFC$。
(2)$∠EPF+∠AEP+∠PFC=360^{\circ }$
(3)当点 P 在线段 EF 左侧时,如下图所示。

因为$∠EPF=∠AEP+∠PFC,∠EPF=70^{\circ },$
所以$∠PEB+∠PFD=360^{\circ }-70^{\circ }=290^{\circ }$。
所以$∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=\frac {1}{2}(∠PEB+$
$∠PFD)=145^{\circ }$。
当点 P 在线段 EF 右侧时,如下图所示。

因为$∠AEP+∠EPF+∠PFC=360^{\circ },∠EPF=70^{\circ },$
所以$∠AEP+∠PFC=360^{\circ }-∠EPF=290^{\circ }$。
所以$∠PEB+∠PFD=360^{\circ }-290^{\circ }=70^{\circ }$。
所以$∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=\frac {1}{2}(∠PEB+$
$∠PFD)=35^{\circ }$。
所以$∠EQF$的度数为$145^{\circ }$或$35^{\circ }$。
(4)(a)当动点 P 在射线 EF 的右侧时,结论是
$∠PFD=∠PEB+∠EPF;$
(b)当动点 P 在射线 EF 上时,结论是$∠PFD=$
$∠PEB+∠EPF$,或$∠PEB=∠PFD+∠EPF$,或$∠EPF=$
$0^{\circ },∠PFD=∠PEB$(任写一个即可);
(c)当动点 P 在射线 EF 的左侧时,结论是
$∠PEB=∠EPF+∠PFD$。
选择一种说明理由即可,略。 提示:过点 P
作$PM// AB$。