10. (★★)下列二次根式是最二次根式的是(填序号)。
①$\sqrt{2}$；②$\sqrt{\frac{1}{m}}(m ＞ 0)$；③$\sqrt{1.5}$；④$\sqrt{a^{2}-b^{2}}(|a|≥|b|)$；⑤$\frac{\sqrt{42}}{3}$；⑥$\frac{3}{\sqrt{2}}$。

①④⑤（按照题目要求应填序号对应的选项标识，本题按题序给出答案对应内容）

最简二次根式需满足两个条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式。
①$\sqrt{2}$，被开方数2是整数，且不含开得尽方的因数，是最简二次根式。
②$\sqrt{\frac{1}{m}}(m ＞ 0)$，被开方数是分数，不是整式，不是最简二次根式。
③$\sqrt{1.5}$，被开方数$1.5$是分数，不是整数，不是最简二次根式。
④$\sqrt{a^{2}-b^{2}}(|a|≥|b|)$，被开方数$a^{2}-b^{2}$是整式，且没有开得尽方的因数，是最简二次根式。
⑤$\frac{\sqrt{42}}{3}$，被开方数$42$不含开得尽方的因数，是最简二次根式。
⑥$\frac{3}{\sqrt{2}}$，分母中有根式，不是最简二次根式。
综上，最简二次根式是①④⑤。

11. (★★)若$\sqrt{2^{m + n - 2}}$和$\sqrt{3^{3m - 2n + 2}}$都是最简二次根式，则$m =$，$n =$。

1；2

因为$\sqrt{2^{m + n - 2}}$和$\sqrt{3^{3m - 2n + 2}}$都是最简二次根式，所以被开方数的指数都为1，可得方程组：
$\begin{cases}m + n - 2 = 1 \\3m - 2n + 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}m + n = 3 \\3m - 2n = -1\end{cases}$
由$m + n = 3$得$m = 3 - n$，代入$3m - 2n = -1$：$3(3 - n) - 2n = -1$，解得$n = 2$，则$m = 3 - 2 = 1$。

12. (★★)物体的动能大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度。已知动能的计算公式是$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，其中$E_{k}$(单位：J)表示动能，$m$(单位：kg)表示物体的质量，$v$(单位：m/s)表示物体的运动速度。现有一名运动员在匀速跑步，他的体重是 60 kg，若动能是 1000 J，则该运动员的跑步速度为m/s。(结果化为最简二次根式)

已知动能计算公式$E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}$，其中$E_{k}=1000\ \mathrm{J}$，$m=60\ \mathrm{kg}$。
将已知数据代入公式：$1000 = \frac{1}{2} × 60 × v^{2}$
化简得：$1000 = 30v^{2}$
则$v^{2} = \frac{1000}{30} = \frac{100}{3}$
解得$v = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m/s}$
$\frac{10\sqrt{3}}{3}$

13. (★★)把下列各式化成最简二次根式。
(1)$\sqrt{25a^{3}}=$；
(2)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=$；
(3)$\sqrt{0.3}=$；
(4)$\frac{1}{2}\sqrt{13^{2}-11^{2}}=$；
(5)$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2a}}=$；
(6)$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}=$。

(1)$5a\sqrt{a}$；(2)$\frac{\sqrt{15}}{5}$；(3)$\frac{\sqrt{30}}{10}$；(4)$2\sqrt{3}$；(5)$\frac{2\sqrt{a}}{a}$；(6)$\frac{\sqrt{5}}{30}$

(1)$\sqrt{25a^{3}}=\sqrt{25· a^{2}· a}=5a\sqrt{a}$；
(2)$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}·\sqrt{5}}{\sqrt{5}·\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$；
(3)$\sqrt{0.3}=\sqrt{\frac{3}{10}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{30}}{10}$；
(4)$\frac{1}{2}\sqrt{13^{2}-11^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(13-11)(13+11)}=\frac{1}{2}\sqrt{2×24}=\frac{1}{2}\sqrt{48}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$；
(5)$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2a}}=\sqrt{\frac{8}{2a}}=\sqrt{\frac{4}{a}}=\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{2\sqrt{a}}{a}$；
(6)$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}=\frac{\sqrt{2}}{3×2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{6\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}·\sqrt{10}}{6×10}=\frac{\sqrt{20}}{60}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}$。

14. (★★)已知$\sqrt{3}\approx1.732$，求$\sqrt{\frac{1}{3}}$与$\sqrt{27}$的近似值(结果保留小数点后两位)。

答题卡作答：
$\sqrt{\frac{1}{3}}$的近似值：
$\sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 × \sqrt{3}}{\sqrt{3} × \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx \frac{1.732}{3} \approx 0.58$。
$\sqrt{27}$的近似值：
$\sqrt{27} = \sqrt{9 × 3} = \sqrt{9} × \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \approx 3 × 1.732 \approx 5.20$。
最终结论：
$\sqrt{\frac{1}{3}}$的近似值为$0.58$；
$\sqrt{27}$的近似值为$5.20$。

15. (★★)计算：
(1)$\sqrt{12}÷\sqrt{27}×\sqrt{18}$；
(2)$\frac{3}{2}\sqrt{2\frac{2}{3}}÷\frac{1}{9}\sqrt{\frac{1}{45}}$；
(3)$\sqrt{\frac{3}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{12}}÷\sqrt{1\frac{1}{2}}$。

(1)原式$=\sqrt{12÷27×18}=\sqrt{\frac{12}{27}×18}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
(2)原式$=\frac{3}{2}÷\frac{1}{9}×\sqrt{\frac{8}{3}÷\frac{1}{45}}=\frac{27}{2}×\sqrt{120}=\frac{27}{2}×2\sqrt{30}=27\sqrt{30}$
(3)原式$=\sqrt{\frac{3}{2}÷\frac{1}{12}÷\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}×12×\frac{2}{3}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

16. (★★★)已知$ab ＞ 0$，$a + b ＜ 0$，下列各式正确的是【 】

A.$\sqrt{a^{2}} = a$
B.$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
C.$a\sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{ab}$
D.$\sqrt{a^{2}b^{2}} = ab$

D

由$ab ＞ 0$，得$a$，$b$同号，又$a + b ＜ 0$，所以$a＜0$，$b ＜ 0$。
A选项，因为$a＜0$，根据$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，则$\sqrt{a^{2}}=-a$，A选项错误。
B选项，要使$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$成立，需$a≥0$，$b ＞ 0$，而此题$a＜0$，$b ＜ 0$，所以B选项错误。
C选项，因为$a＜0$，$b ＜ 0$，则$a\sqrt{\frac{b}{a}}=a\sqrt{\frac{ab}{a^{2}}}=a×\frac{\sqrt{ab}}{\vert a\vert}=a×\frac{\sqrt{ab}}{-a}=-\sqrt{ab}$，C选项错误。
D选项，因为$ab ＞ 0$，所以$\sqrt{a^{2}b^{2}}=\vert ab\vert = ab$，D选项正确。

17. (★★★)已知非零实数$a$，$b$，$c$，其中$c ＜ 0$，化简：$\sqrt{-\frac{b^{3}c}{a}}$。

$\frac{b}{a}\sqrt{-abc}$

要化简$\sqrt{-\frac{b^{3}c}{a}}$，需先确保被开方数非负，再结合已知条件$c＜0$及非零实数$a,b$进行分析：
步骤1：确定被开方数符号
由二次根式定义，$-\frac{b^3c}{a} ≥ 0$。
因为$c＜0$，所以$-c＞0$，则$\frac{b^3}{a} ≥ 0$。
由于$a,b$非零，且$b^3$与$b$同号，故$a,b$同号（即$ab＞0$）。
步骤2：化简二次根式
将被开方数变形：
$-\frac{b^3c}{a} = \frac{b^3(-c)}{a} = b^2 · \frac{b(-c)}{a}$
开方得：
$\sqrt{-\frac{b^3c}{a}} = \sqrt{b^2 · \frac{b(-c)}{a}} = |b| · \sqrt{\frac{b(-c)}{a}}$
步骤3：结合$ab＞0$化简绝对值
因为$ab＞0$，所以$\frac{b}{a}＞0$，且$|b| = \frac{b}{a} · |a|$。
又$\frac{b(-c)}{a} = \frac{-abc}{a^2}$（分子分母同乘$a$），则：
$\sqrt{\frac{b(-c)}{a}} = \sqrt{\frac{-abc}{a^2}} = \frac{\sqrt{-abc}}{|a|}$
步骤4：合并化简结果
$|b| · \frac{\sqrt{-abc}}{|a|} = \frac{|b|}{|a|} · \sqrt{-abc}$
由于$ab＞0$，$\frac{|b|}{|a|} = \frac{b}{a}$，故：
$\sqrt{-\frac{b^3c}{a}} = \frac{b}{a}\sqrt{-abc}$