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10. 若$3^{x}=5$，$3^{y}=2$，则$9^{x - 2y}$的值为()
A.$1$
B.$9$
C.$\frac{25}{16}$
D.$\frac{5}{4}$
A.$1$
B.$9$
C.$\frac{25}{16}$
D.$\frac{5}{4}$
答案
C
解析
1. 先将底数9转化为3²，根据幂的乘方法则可得：$9^{x - 2y}=(3^2)^{x - 2y}=3^{2(x - 2y)}=3^{2x - 4y}$
2. 根据同底数幂的除法法则，变形为：$3^{2x - 4y}=3^{2x}÷3^{4y}$
3. 再利用幂的乘方法则转化：$3^{2x}=(3^x)^2$，$3^{4y}=(3^y)^4$
4. 代入已知$3^x=5$，$3^y=2$，计算得：$(3^x)^2=5^2=25$，$(3^y)^4=2^4=16$
5. 最后计算：$25÷16=\frac{25}{16}$
2. 根据同底数幂的除法法则，变形为：$3^{2x - 4y}=3^{2x}÷3^{4y}$
3. 再利用幂的乘方法则转化：$3^{2x}=(3^x)^2$，$3^{4y}=(3^y)^4$
4. 代入已知$3^x=5$，$3^y=2$，计算得：$(3^x)^2=5^2=25$，$(3^y)^4=2^4=16$
5. 最后计算：$25÷16=\frac{25}{16}$
11. 若$a + b = 3$，$ab = 1$，则$a^{2}+b^{2}=$.
答案
7
解析
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，变形得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$。将$a+b=3$，$ab=1$代入式子，计算得$a^2+b^2=3^2-2×1=9-2=7$。
12. 已知$a = 2^{12}$，$b = 3^{8}$，$c = 7^{4}$，则$a$，$b$，$c$大小关系是()
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$c ＞ b ＞ a$
D.$b ＞ c ＞ a$
A.$a ＞ b ＞ c$
B.$b ＞ a ＞ c$
C.$c ＞ b ＞ a$
D.$b ＞ c ＞ a$
答案
B
解析
利用幂的乘方法则，将各数转化为同指数幂：
$a=2^{12}=(2^3)^4=8^4$，
$b=3^8=(3^2)^4=9^4$，
$c=7^4$，
指数相同时，底数越大幂越大，故$9^4＞8^4＞7^4$，即$b＞a＞c$。
$a=2^{12}=(2^3)^4=8^4$，
$b=3^8=(3^2)^4=9^4$，
$c=7^4$，
指数相同时，底数越大幂越大，故$9^4＞8^4＞7^4$，即$b＞a＞c$。
13. 如图，在边长为$a$的正方形中剪去一个边长为$b$的小正方形$(a ＞ b)$，把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式.
答案
$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$
解析
1. 计算左图阴影面积：大正方形面积减小正方形面积，得$S_{1}=a^2 - b^2$。
2. 计算右图梯形面积：梯形上底为$2b$，下底为$2a$，高为$(a - b)$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，得$S_{2}=\frac{1}{2}(2b+2a)(a - b)=(a + b)(a - b)$。
3. 因两图阴影面积相等，故验证公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
2. 计算右图梯形面积：梯形上底为$2b$，下底为$2a$，高为$(a - b)$，根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(上底+下底)×高$，得$S_{2}=\frac{1}{2}(2b+2a)(a - b)=(a + b)(a - b)$。
3. 因两图阴影面积相等，故验证公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
14. 若$(x - 2)^{x + 1}=1$，求$x$的值.
答案
解：分三种情况讨论：
1. 当指数为0且底数不为0时：
$x + 1 = 0$ 且 $x - 2 ≠ 0$
解得 $x = -1$，此时 $x - 2 = -3 ≠ 0$，符合条件。
2. 当底数为1时：
$x - 2 = 1$
解得 $x = 3$，此时 $(3 - 2)^{3 + 1} = 1^4 = 1$，符合条件。
3. 当底数为-1且指数为偶数时：
$x - 2 = -1$，解得 $x = 1$
此时指数 $x + 1 = 2$（偶数），$(1 - 2)^{1 + 1} = (-1)^2 = 1$，符合条件。
综上，$x$ 的值为 $-1$、$1$ 或 $3$。
1. 当指数为0且底数不为0时：
$x + 1 = 0$ 且 $x - 2 ≠ 0$
解得 $x = -1$，此时 $x - 2 = -3 ≠ 0$，符合条件。
2. 当底数为1时：
$x - 2 = 1$
解得 $x = 3$，此时 $(3 - 2)^{3 + 1} = 1^4 = 1$，符合条件。
3. 当底数为-1且指数为偶数时：
$x - 2 = -1$，解得 $x = 1$
此时指数 $x + 1 = 2$（偶数），$(1 - 2)^{1 + 1} = (-1)^2 = 1$，符合条件。
综上，$x$ 的值为 $-1$、$1$ 或 $3$。
15. 规定两数$a$，$b$之间的一种运算：如果$a^{c}=b$，那么$L(a,b)=c$.
如：因为$2^{3}=8$，所以$L(2,8)=3$.
(1)根据上述规定，填空：
①$L(4,64)=$；②$L$(，$-32$)$=5$.
(2)若$L(3,6)=a$，$L(3,8)=b$，$L(3,48)=c$，直接写出$a$，$b$，$c$之间的数量关系：.
(3)若$L(m,2)+L(m,6)=L(m,k)$，求$k$的值.
如：因为$2^{3}=8$，所以$L(2,8)=3$.
(1)根据上述规定，填空：
①$L(4,64)=$；②$L$(，$-32$)$=5$.
(2)若$L(3,6)=a$，$L(3,8)=b$，$L(3,48)=c$，直接写出$a$，$b$，$c$之间的数量关系：.
(3)若$L(m,2)+L(m,6)=L(m,k)$，求$k$的值.
答案
解：
(1)①因为$4^3=64$，所以$L(4,64)=3$；
②设所求数为$x$，由题意得$x^5=-32$，因为$(-2)^5=-32$，所以$x=-2$，即$L(-2,-32)=5$；
(2)由题意得：$3^a=6$，$3^b=8$，$3^c=48$，
因为$6×8=48$，所以$3^a×3^b=3^c$，
根据同底数幂的乘法法则，$3^{a+b}=3^c$，
所以$a+b=c$；
(3)设$L(m,2)=x$，$L(m,6)=y$，$L(m,k)=z$，
根据题意得：$m^x=2$，$m^y=6$，$m^z=k$，
因为$L(m,2)+L(m,6)=L(m,k)$，所以$x+y=z$，
则$m^x× m^y=m^{x+y}=m^z$，
即$2×6=k$，
所以$k=12$。
(1)①因为$4^3=64$，所以$L(4,64)=3$；
②设所求数为$x$，由题意得$x^5=-32$，因为$(-2)^5=-32$，所以$x=-2$，即$L(-2,-32)=5$；
(2)由题意得：$3^a=6$，$3^b=8$，$3^c=48$，
因为$6×8=48$，所以$3^a×3^b=3^c$，
根据同底数幂的乘法法则，$3^{a+b}=3^c$，
所以$a+b=c$；
(3)设$L(m,2)=x$，$L(m,6)=y$，$L(m,k)=z$，
根据题意得：$m^x=2$，$m^y=6$，$m^z=k$，
因为$L(m,2)+L(m,6)=L(m,k)$，所以$x+y=z$，
则$m^x× m^y=m^{x+y}=m^z$，
即$2×6=k$，
所以$k=12$。
