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1. 某三角形的三边长分别为 3，4，5，则这个三角形的面积是.
答案
6
解析
因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16=25=5^{2}$，满足勾股定理的逆定理，所以该三角形是直角三角形，两直角边分别为$3$和$4$。根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（其中$a$、$b$为两直角边），可得这个三角形的面积$S=\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
2. 命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”的逆命题是(填“真”或“假”)命题.
答案
假
解析
原命题的逆命题为“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”。面积相等的三角形不一定全等，例如一个底为4、高为3的三角形和一个底为6、高为2的三角形面积相等，但不全等，所以该逆命题是假命题。
3. 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.有五个条件：①∠A：∠B：∠C=3：4：5；②a：b：c=5：12：13；③a²：b²：c²=2：5：7；④a²=(b+c)(b−c)；⑤∠A=∠C−∠B.其中能判定△ABC 是直角三角形的是(填序号).
答案
②③④⑤
解析
① 设 $∠ A = 3x$，$∠ B = 4x$，$∠ C = 5x$，根据三角形内角和为 $180°$，有 $3x + 4x + 5x = 180°$，解得 $x = 15°$。所以 $∠ C = 5 × 15° = 75°$，不是 $90°$，因此不是直角三角形。
② 对于 $a:b:c = 5:12:13$，设 $a = 5k$，$b = 12k$，$c = 13k$。根据勾股定理的逆定理，如果 $a^2 + b^2 = c^2$，则三角形是直角三角形。代入得 $(5k)^2 + (12k)^2 = (13k)^2$，成立，因此是直角三角形。
③ 对于 $a^2:b^2:c^2 = 2:5:7$，设 $a^2 = 2k$，$b^2 = 5k$，$c^2 = 7k$。则 $a^2 + b^2 = 2k + 5k = 7k = c^2$，满足勾股定理的逆定理，因此是直角三角形，且$c$为斜边。
④ 对于 $a^2 = (b + c)(b - c)$，展开得 $a^2 = b^2 - c^2$，即 $a^2 +c^2 = b^2 $。根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，且$b$为斜边。
⑤ 设 $∠ A = ∠ C - ∠ B$，根据三角形内角和 $A+B+C=180°$，代入得$∠ C - ∠ B+∠ B+∠ C=180°$，即$2∠ C = 180°$，解得 $∠ C = 90°$，是直角三角形。
综上所述能判定$\bigtriangleup ABC$是直角三角形的有②③④⑤。
② 对于 $a:b:c = 5:12:13$，设 $a = 5k$，$b = 12k$，$c = 13k$。根据勾股定理的逆定理，如果 $a^2 + b^2 = c^2$，则三角形是直角三角形。代入得 $(5k)^2 + (12k)^2 = (13k)^2$，成立，因此是直角三角形。
③ 对于 $a^2:b^2:c^2 = 2:5:7$，设 $a^2 = 2k$，$b^2 = 5k$，$c^2 = 7k$。则 $a^2 + b^2 = 2k + 5k = 7k = c^2$，满足勾股定理的逆定理，因此是直角三角形，且$c$为斜边。
④ 对于 $a^2 = (b + c)(b - c)$，展开得 $a^2 = b^2 - c^2$，即 $a^2 +c^2 = b^2 $。根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，且$b$为斜边。
⑤ 设 $∠ A = ∠ C - ∠ B$，根据三角形内角和 $A+B+C=180°$，代入得$∠ C - ∠ B+∠ B+∠ C=180°$，即$2∠ C = 180°$，解得 $∠ C = 90°$，是直角三角形。
综上所述能判定$\bigtriangleup ABC$是直角三角形的有②③④⑤。
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC=2，CD=1，DA=3.若∠ABC=90°，则四边形 ABCD 的面积为.
答案
连接AC。
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC²=AB²+BC²=2²+2²=8，AC=2√2，
S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×2×2=2。
在△ACD中，AC=2√2，CD=1，DA=3，
∵AC²+CD²=(2√2)²+1²=8+1=9=3²=DA²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
S△ACD=1/2×AC×CD=1/2×2√2×1=√2。
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=2+√2。
2+√2
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC²=AB²+BC²=2²+2²=8，AC=2√2，
S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×2×2=2。
在△ACD中，AC=2√2，CD=1，DA=3，
∵AC²+CD²=(2√2)²+1²=8+1=9=3²=DA²，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，
S△ACD=1/2×AC×CD=1/2×2√2×1=√2。
∴四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ACD=2+√2。
2+√2
5. 如图，若每个小正方形的边长为 1，则∠ABC 的度数为.
答案
连接AC。
由网格知，每个小正方形边长为1，
则AC的长度：A到C横向距离0，纵向距离2，$AC=2$，$AC^2=2^2=4$；
BC的长度：B到C横向距离2，纵向距离0，$BC=2$，$BC^2=2^2=4$；
AB的长度：A到B横向距离2，纵向距离2，$AB^2=2^2+2^2=8$。
在△ABC中，$AC^2+BC^2=4+4=8=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
又∵AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°。
45°
由网格知，每个小正方形边长为1，
则AC的长度：A到C横向距离0，纵向距离2，$AC=2$，$AC^2=2^2=4$；
BC的长度：B到C横向距离2，纵向距离0，$BC=2$，$BC^2=2^2=4$；
AB的长度：A到B横向距离2，纵向距离2，$AB^2=2^2+2^2=8$。
在△ABC中，$AC^2+BC^2=4+4=8=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。
又∵AC=BC=2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°。
45°
6. 提升题 如图，在△ABC 中，AB=13，AC=12，BC=5，DE 是 AB 的垂直平分线，DE 分别交 AC，AB 于点 E，D.
（1）求证：△ABC 是直角三角形；
（2）求 CE 的长.
（1）求证：△ABC 是直角三角形；
（2）求 CE 的长.
答案
（1）△ABC是直角三角形；（2）CE的长为119/24。
解析
（1）证明：在△ABC中，AC=12，BC=5，AB=13。
∵AC² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169，AB² = 13² = 169，
∴AC² + BC² = AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。设AE=BE=x，则CE=AC - AE=12 - x。
在Rt△BCE中，∠C=90°，
由勾股定理得：CE² + BC² = BE²，
即(12 - x)² + 5² = x²，
144 - 24x + x² + 25 = x²，
169 - 24x = 0，
24x = 169，
x = 169/24，
∴CE=12 - 169/24 = (288 - 169)/24 = 119/24。
∵AC² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169，AB² = 13² = 169，
∴AC² + BC² = AB²，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
（2）解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE。设AE=BE=x，则CE=AC - AE=12 - x。
在Rt△BCE中，∠C=90°，
由勾股定理得：CE² + BC² = BE²，
即(12 - x)² + 5² = x²，
144 - 24x + x² + 25 = x²，
169 - 24x = 0，
24x = 169，
x = 169/24，
∴CE=12 - 169/24 = (288 - 169)/24 = 119/24。
