1. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是( )

A.
B.
C.
D.

C

2. 在$□ ABCD$中，$∠A$与$∠B$的度数之比为$1:3$，则$∠D$的度数是()

A.$135^{\circ }$
B.$130^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$110^{\circ }$

A

在平行四边形$ABCD$中，$∠ A$和$∠ B$为相邻内角，互补，即$∠ A + ∠ B = 180°$。
已知$∠ A : ∠ B = 1 : 3$，设$∠ A = x$，则$∠ B = 3x$，有：
$x + 3x = 180° \implies 4x = 180° \implies x = 45°$
因此，$∠ B = 3x = 135°$。
在平行四边形中，对角相等，$∠ D = ∠ B = 135°$。

3. 在平面直角坐标系中，已知点$O(0,0)$，$A(2,2)$，$B(3,0)$。若以$O$，$A$，$B$，$C$为顶点的四边形是平行四边形，则点$C$的坐标不可能为()

A.$(-1,2)$
B.$(5,2)$
C.$(1,-2)$
D.$(2,-2)$

D

分三种情况讨论：
1. 当OA和BC为对角线时，OA中点为(1,1)，则BC中点也为(1,1)。由B(3,0)得C点坐标为(-1,2)（选项A）；
2. 当OB和AC为对角线时，OB中点为(1.5,0)，则AC中点也为(1.5,0)。由A(2,2)得C点坐标为(1,-2)（选项C）；
3. 当AB和OC为对角线时，AB中点为(2.5,1)，则OC中点也为(2.5,1)。由O(0,0)得C点坐标为(5,2)（选项B）。
综上，点C的坐标不可能为(2,-2)。

4. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$AC$上的两点，且$AE=CF$。给出下列结论：①四边形$EBFD$为平行四边形；②$BE// DF$；③$AB=DE$；④$BE=DF$；⑤$S_{△ ADE}=S_{△ ABE}$；⑥$AF=CE$。其中正确的结论有(填序号)。

①②④⑤⑥

∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD（平行四边形对角线互相平分）。
∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF。
∵OB=OD且OE=OF，∴四边形EBFD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），故①正确；
∵四边形EBFD是平行四边形，∴BE//DF，BE=DF（平行四边形对边平行且相等），故②④正确；
∵AE=CF，AC=AC，∴AC-AE=AC-CF，即AF=CE，故⑥正确；
△ADE与△ABE以AE为底，D、B到AC的距离相等（平行线间距离相等），∴S△ADE=S△ABE，故⑤正确；
AB与DE无直接等量关系，③错误。

5. 如图，在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AB=8cm$，$CD=7cm$，$AD=5cm$，$∠B=60^{\circ }$，那么$BC$的长为_______。

10cm

过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则四边形AEFD为矩形，EF=AD=5cm，AE=DF。在Rt△ABE中，∠B=60°，AB=8cm，∠BAE=30°，BE=AB·cos60°=8×0.5=4cm，AE=AB·sin60°=8×(√3/2)=4√3 cm。在Rt△DCF中，CD=7cm，DF=AE=4√3 cm，CF=√(CD²-DF²)=√(7²-(4√3)²)=√(49-48)=1cm。BC=BE+EF+FC=4+5+1=10cm。

6. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=4cm$，$AD=12cm$，点$P$在边$AD$上以$1cm/s$的速度从点$A$向点$D$运动，点$Q$在边$BC$上以$3cm/s$的速度从点$C$向点$B$运动，两个点同时出发，当点$Q$到达点$B$时停止运动。当运动时间为$s$时，线段$PQ// AB$。

3

设运动时间为$ t $秒。
在$ □ABCD $中，$ AD// BC $，$ AD=BC=12cm $。
点$ P $的速度为$ 1cm/s $，则$ AP = t \, cm $；
点$ Q $的速度为$ 3cm/s $，则$ CQ = 3t \, cm $，$ BQ = BC - CQ = (12 - 3t) \, cm $。
当$ PQ// AB $时，由于$ AD// BC $，四边形$ ABQP $为平行四边形，故$ AP = BQ $。
即$ t = 12 - 3t $，解得$ t = 3 $。

7. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$F$是$AB$的中点，连接$DF$并延长，交$CB$的延长线于点$E$，连接$AE$。
(1) 求证：四边形$AEBD$是平行四边形；
(2) 若$DF⊥DC$，$DC=10$，$BE=13$，求线段$DE$的长。

(1) 见证明过程；(2) $24$。

(1) 证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC$，$AB// CD$。
∵$F$是$AB$中点，∴$AF=FB$。
∵$AD// BC$，∴$∠ ADF=∠ BEF$，$∠ DAF=∠ EBF$。
在$△ ADF$和$△ BEF$中，
$\{\begin{array}{l}∠ ADF=∠ BEF\\∠ DAF=∠ EBF\\AF=FB\end{array} $，
∴$△ ADF≌△ BEF(AAS)$，
∴$AD=BE$。
∵$AD// BE$，
∴四边形$AEBD$是平行四边形。
(2) 解：
∵$DF⊥ DC$，$AB// CD$，∴$DF⊥ AB$。
∵$DC=10$，四边形$ABCD$是平行四边形，∴$AB=DC=10$。
∵$F$是$AB$中点，∴$AF=FB=\frac{1}{2}AB=5$。
由(1)知$△ ADF≌△ BEF$，∴$AD=BE=13$，$DF=EF$。
在$Rt△ ADF$中，$AD=13$，$AF=5$，
由勾股定理得$DF=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$，
∴$DE=2DF=24$。