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1. 如图，一块直角三角尺的直角顶点 $ C $ 与原点重合，另两个顶点 $ A $，$ B $ 的坐标分别为 $ (3,0) $，$ (0,\sqrt{3}) $。现将三角尺沿 $ x $ 轴向左平移，使点 $ A $ 与点 $ A'(1,0) $ 重合，则点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 的坐标是()。
A.$ (-2,\sqrt{3}) $
B.$ (-\sqrt{3},\sqrt{3}) $
C.$ (-1,\sqrt{3}) $
D.$ (-\sqrt{3},2) $
A.$ (-2,\sqrt{3}) $
B.$ (-\sqrt{3},\sqrt{3}) $
C.$ (-1,\sqrt{3}) $
D.$ (-\sqrt{3},2) $
答案
A
解析
直角三角尺的顶点 $ A $ 的初始坐标为 $ (3,0) $，平移后与点 $ A'(1,0) $ 重合。
向左平移的距离为 $ 3 - 1 = 2 $。
点 $ B $ 的初始坐标为 $ (0,\sqrt{3}) $，向左平移 2 个单位后，新的坐标为 $ (0 - 2, \sqrt{3}) = (-2, \sqrt{3}) $。
因此，点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 的坐标为 $ (-2, \sqrt{3}) $。
向左平移的距离为 $ 3 - 1 = 2 $。
点 $ B $ 的初始坐标为 $ (0,\sqrt{3}) $，向左平移 2 个单位后，新的坐标为 $ (0 - 2, \sqrt{3}) = (-2, \sqrt{3}) $。
因此，点 $ B $ 的对应点 $ B' $ 的坐标为 $ (-2, \sqrt{3}) $。
2. 在平面直角坐标系中，将点 $ A $ 向左平移 $ 3 $ 个单位长度，再向上平移 $ 2 $ 个单位长度后与点 $ B(-1,4) $ 重合，则点 $ A $ 的坐标是()。
A.$ (2,2) $
B.$ (-4,6) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (2,6) $
A.$ (2,2) $
B.$ (-4,6) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (2,6) $
答案
A
解析
设点$A$的坐标为$(x, y)$，点$A$向左平移$3$个单位长度，横坐标变为$x - 3$；再向上平移$2$个单位长度，纵坐标变为$y + 2$。
已知平移后与点$B(-1,4)$重合，则可得到方程组$\begin{cases}x - 3=-1\\y + 2 = 4\end{cases}$，
由$x - 3=-1$，解得$x = 2$；由$y + 2 = 4$，解得$y = 2$。
所以点$A$的坐标是$(2,2)$。
已知平移后与点$B(-1,4)$重合，则可得到方程组$\begin{cases}x - 3=-1\\y + 2 = 4\end{cases}$，
由$x - 3=-1$，解得$x = 2$；由$y + 2 = 4$，解得$y = 2$。
所以点$A$的坐标是$(2,2)$。
3. (2024 重庆合川区期末)如图，在平面直角坐标系中，$ O $ 为坐标原点，点 $ P(2,-2) $，将线段 $ OP $ 平移，使得点 $ O $ 落在点 $ O_1(-1,2) $ 处，则点 $ P $ 的对应点 $ P_1 $ 的坐标为()。
A.$ (-1,2) $
B.$ (1,0) $
C.$ (3,-4) $
D.$ (2,-2) $
A.$ (-1,2) $
B.$ (1,0) $
C.$ (3,-4) $
D.$ (2,-2) $
答案
B
解析
由点O(0,0)平移到O₁(-1,2)，可知平移规律为向左平移1个单位，向上平移2个单位。点P(2,-2)按此规律平移，横坐标为2-1=1，纵坐标为-2+2=0，所以P₁(1,0)。
4. 如图，若点 $ A $ 的坐标为 $ (1,2) $，点 $ B $ 的坐标为 $ (3,0) $，将三角形 $ OAB $ 沿 $ x $ 轴正方向平移，使点 $ B $ 平移到点 $ E $，得到三角形 $ DCE $，点 $ C $ 的坐标为 $ (2,2) $，则线段 $ OE $ 的值为()。
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $
答案
B
解析
因为三角形OAB沿x轴正方向平移得到三角形DCE，点A(1,2)平移后对应点C(2,2)，所以平移距离为2-1=1个单位。点B(3,0)平移后得到点E，E的坐标为(3+1,0)=(4,0)。OE是点E到原点O的距离，OE=4-0=4。
5. 下面是一个点的平移过程：将平面直角坐标系中的点 $ P(a - 3,b + 2) $ 向右平移 $ ♠ $ 个单位长度，再向 $ ♥ $ 平移 $ 2 $ 个单位长度到点 $ P'(a,b) $ 的位置。其中有部分内容缺失，则以下补充正确的是()。
A.$ ♠ $ 表示 $ 3 $，$ ♥ $ 表示上
B.$ ♠ $ 表示 $ -3 $，$ ♥ $ 表示上
C.$ ♠ $ 表示 $ 3 $，$ ♥ $ 表示下
D.$ ♠ $ 表示 $ -3 $，$ ♥ $ 表示下
A.$ ♠ $ 表示 $ 3 $，$ ♥ $ 表示上
B.$ ♠ $ 表示 $ -3 $，$ ♥ $ 表示上
C.$ ♠ $ 表示 $ 3 $，$ ♥ $ 表示下
D.$ ♠ $ 表示 $ -3 $，$ ♥ $ 表示下
答案
C
解析
点的平移规则是向右平移横坐标增加，向左平移横坐标减少；向上平移纵坐标增加，向下平移纵坐标减少。
题目中，点 $ P(a-3, b+2) $ 平移后到达点 $ P'(a, b) $。
横向平移：从 $ a-3 $ 到 $ a $，需要向右平移 $ 3 $ 个单位。
纵向平移：从 $ b+2 $ 到 $ b $，需要向下平移 $ 2 $ 个单位。
因此，$ ♠ $ 表示 $ 3 $，$ ♥ $ 表示下。
题目中，点 $ P(a-3, b+2) $ 平移后到达点 $ P'(a, b) $。
横向平移：从 $ a-3 $ 到 $ a $，需要向右平移 $ 3 $ 个单位。
纵向平移：从 $ b+2 $ 到 $ b $，需要向下平移 $ 2 $ 个单位。
因此，$ ♠ $ 表示 $ 3 $，$ ♥ $ 表示下。
6. 把点 $ A(m,m + 2) $ 先向左平移 $ 2 $ 个单位长度，再向上平移 $ 3 $ 个单位长度得到点 $ B $，点 $ B $ 正好落在 $ x $ 轴上。求点 $ B $ 的坐标。
答案
(-7, 0)
解析
解：点A(m, m+2)向左平移2个单位长度，横坐标变为m-2，纵坐标不变，得到点(m-2, m+2)。
再向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标变为m+2+3=m+5，得到点B(m-2, m+5)。
因为点B在x轴上，所以其纵坐标为0，即m+5=0，解得m=-5。
则点B的横坐标为m-2=-5-2=-7，纵坐标为0，所以点B的坐标为(-7, 0)。
再向上平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标变为m+2+3=m+5，得到点B(m-2, m+5)。
因为点B在x轴上，所以其纵坐标为0，即m+5=0，解得m=-5。
则点B的横坐标为m-2=-5-2=-7，纵坐标为0，所以点B的坐标为(-7, 0)。
7. （几何直观）如图，已知点 $ A(-3,1) $，$ B(-3,-5) $，点 $ C(x,y) $ 在线段 $ AB $ 上运动。当 $ OC ＞ OA $ 时，求 $ y $ 的取值范围。
答案
∵点A(-3,1)，B(-3,-5)，点C在线段AB上，
∴点C的坐标为(-3,y)，且-5≤y≤1。
OA的长度：OA=√[(-3-0)²+(1-0)²]=√(9+1)=√10。
OC的长度：OC=√[(-3-0)²+(y-0)²]=√(9+y²)。
由OC＞OA，得√(9+y²)＞√10，
两边平方：9+y²＞10，即y²＞1，
解得y＞1或y＜-1。
∵-5≤y≤1，
∴y＞1（舍去），故-5≤y＜-1。
结论：y的取值范围是-5≤y＜-1。
∴点C的坐标为(-3,y)，且-5≤y≤1。
OA的长度：OA=√[(-3-0)²+(1-0)²]=√(9+1)=√10。
OC的长度：OC=√[(-3-0)²+(y-0)²]=√(9+y²)。
由OC＞OA，得√(9+y²)＞√10，
两边平方：9+y²＞10，即y²＞1，
解得y＞1或y＜-1。
∵-5≤y≤1，
∴y＞1（舍去），故-5≤y＜-1。
结论：y的取值范围是-5≤y＜-1。
