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6. （2024 曲靖月考）甲、乙两人从相距 36 km 的两地相向而行. 如果甲比乙先走 2 h，那么在乙出发后 3 h 相遇；如果乙比甲先走 2 h，那么在甲出发后 2.5 h 相遇. 甲、乙两人每小时各走多少千米？
答案
解：设甲每小时走$x$千米，乙每小时走$y$千米。
根据“甲比乙先走$2h$，那么在乙出发后$3h$相遇”，可列方程$2x + 3x + 3y = 36$，即$5x + 3y = 36$ ①；
根据“乙比甲先走$2h$，那么在甲出发后$2.5h$相遇”，可列方程$2y + 2.5x + 2.5y = 36$，即$2.5x + 4.5y = 36$ ②。
将②$×2 -$①得：
$\begin{aligned}2×(2.5x + 4.5y)-(5x + 3y)&=2×36 - 36\\5x + 9y - 5x - 3y&=72 - 36\\6y&=36\\y&=6\end{aligned}$
把$y = 6$代入①得：
$\begin{aligned}5x + 3×6&=36\\5x + 18&=36\\5x&=18\\x&=3.6\end{aligned}$
所以甲每小时走$3.6$千米，乙每小时走$6$千米。
根据“甲比乙先走$2h$，那么在乙出发后$3h$相遇”，可列方程$2x + 3x + 3y = 36$，即$5x + 3y = 36$ ①；
根据“乙比甲先走$2h$，那么在甲出发后$2.5h$相遇”，可列方程$2y + 2.5x + 2.5y = 36$，即$2.5x + 4.5y = 36$ ②。
将②$×2 -$①得：
$\begin{aligned}2×(2.5x + 4.5y)-(5x + 3y)&=2×36 - 36\\5x + 9y - 5x - 3y&=72 - 36\\6y&=36\\y&=6\end{aligned}$
把$y = 6$代入①得：
$\begin{aligned}5x + 3×6&=36\\5x + 18&=36\\5x&=18\\x&=3.6\end{aligned}$
所以甲每小时走$3.6$千米，乙每小时走$6$千米。
B 能力达标练
7. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作. 在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹(算筹是中国古代用来计数、列式和进行演算的一种工具)来记录的. 在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式. 如图(1)，从左到右列出的算筹数分别表示 x，y 的系数与相应的常数项，根据图(1)可列出方程组 $\begin{cases}3x + y = 17, \\ 7x + 4y = 23\end{cases}$，则根据图(2)列出的方程组是( ).
A. $\begin{cases}x + 5y = 3, \\ 2x + 2y = 14\end{cases}$
B. $\begin{cases}x + 5y = 11, \\ 2x + 4y = 9\end{cases}$
C. $\begin{cases}x + 5y = 21, \\ 2x + 2y = 9\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + 5y = 1, \\ 2x + 2y = 9\end{cases}$
7. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作. 在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹(算筹是中国古代用来计数、列式和进行演算的一种工具)来记录的. 在算筹计数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式. 如图(1)，从左到右列出的算筹数分别表示 x，y 的系数与相应的常数项，根据图(1)可列出方程组 $\begin{cases}3x + y = 17, \\ 7x + 4y = 23\end{cases}$，则根据图(2)列出的方程组是( ).
A. $\begin{cases}x + 5y = 3, \\ 2x + 2y = 14\end{cases}$
B. $\begin{cases}x + 5y = 11, \\ 2x + 4y = 9\end{cases}$
C. $\begin{cases}x + 5y = 21, \\ 2x + 2y = 9\end{cases}$
D. $\begin{cases}x + 5y = 1, \\ 2x + 2y = 9\end{cases}$
答案
C
解析
根据算筹计数规则：一位数中1-5用立式算筹数量表示（1根=1），6-9用1卧（5）+立式数量（1-4）表示；两位数中十位用卧式数量（1根=10），个位用立式数量（1根=1）。
图(2)第一行（第一个方程）：x系数为1（1立式），y系数为5（5立式），常数项为21（十位2卧式+个位1立式，2×10+1=21），即$x + 5y = 21$。
第二行（第二个方程）：x系数为2（2立式），y系数为2（2立式），常数项为9（1卧式+4立式，5+4=9），即$2x + 2y = 9$。
图(2)第一行（第一个方程）：x系数为1（1立式），y系数为5（5立式），常数项为21（十位2卧式+个位1立式，2×10+1=21），即$x + 5y = 21$。
第二行（第二个方程）：x系数为2（2立式），y系数为2（2立式），常数项为9（1卧式+4立式，5+4=9），即$2x + 2y = 9$。
8. 小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投 5 支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是().
A. 20
B. 22
C. 23
D. 25
A. 20
B. 22
C. 23
D. 25
答案
C
解析
设内圈得分为$x$，外圈得分为$y$。由题意，小虎投中内圈2支、外圈3支，得$2x + 3y = 19$；明明投中内圈3支、外圈2支，得$3x + 2y = 21$。联立方程组：
$\begin{cases}2x + 3y = 19 \\3x + 2y = 21\end{cases}$
解得$x = 5$，$y = 3$。假设大壮投中内圈4支、外圈1支，得分$4x + y = 4×5 + 3 = 23$。
$\begin{cases}2x + 3y = 19 \\3x + 2y = 21\end{cases}$
解得$x = 5$，$y = 3$。假设大壮投中内圈4支、外圈1支，得分$4x + y = 4×5 + 3 = 23$。
9. 为加快长三角一体化建设，某快递公司大幅下调沪苏浙皖三省一市区域内快递费用，其调整前、后的费用标准如下表所示.
调整前寄 3 kg 物品需要 12 元，调整后花同样的钱可寄出 8 kg 物品，求 a，b 的值.
调整前寄 3 kg 物品需要 12 元，调整后花同样的钱可寄出 8 kg 物品，求 a，b 的值.
答案
a=8，b=2
解析
调整前寄3kg物品：1kg内费用为a元，超过1kg部分为3-1=2kg，费用为2b元，总费用a+2b=12；调整后寄8kg物品：1kg内费用为a-3元，超过1kg部分为8-1=7kg，费用为7(b-1)元，总费用(a-3)+7(b-1)=12。联立方程组：
$\begin{cases}a + 2b = 12 \\(a - 3) + 7(b - 1) = 12\end{cases}$
化简第二个方程：a - 3 + 7b - 7 = 12 ⇒ a + 7b = 22。用a + 7b = 22减去a + 2b = 12得5b=10 ⇒ b=2，代入a + 2×2=12得a=8。
$\begin{cases}a + 2b = 12 \\(a - 3) + 7(b - 1) = 12\end{cases}$
化简第二个方程：a - 3 + 7b - 7 = 12 ⇒ a + 7b = 22。用a + 7b = 22减去a + 2b = 12得5b=10 ⇒ b=2，代入a + 2×2=12得a=8。
C 素养提升练
10. （应用意识）已知某江上游甲地与下游乙地相距 360 km，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用 18 h，由乙地逆流而上到达甲地用 24 h. 求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度.
10. （应用意识）已知某江上游甲地与下游乙地相距 360 km，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用 18 h，由乙地逆流而上到达甲地用 24 h. 求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度.
答案
轮船在静水中的速度为17.5km/h，水流速度为2.5km/h
解析
设轮船在静水中的速度为$x$km/h，水流速度为$y$km/h。
顺流速度为$(x + y)$km/h，逆流速度为$(x - y)$km/h。
根据题意，得$\begin{cases}18(x + y) = 360 \\24(x - y) = 360\end{cases}$
化简得$\begin{cases}x + y = 20 \\x - y = 15\end{cases}$
两式相加：$2x = 35$，解得$x = 17.5$
代入$x + y = 20$，得$y = 2.5$
顺流速度为$(x + y)$km/h，逆流速度为$(x - y)$km/h。
根据题意，得$\begin{cases}18(x + y) = 360 \\24(x - y) = 360\end{cases}$
化简得$\begin{cases}x + y = 20 \\x - y = 15\end{cases}$
两式相加：$2x = 35$，解得$x = 17.5$
代入$x + y = 20$，得$y = 2.5$
