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【例 2】(1) 如图，在平面直角坐标系中，描出下列 3 个点：$ A(-1,0) $，$ B(3,-1) $，$ C(4,3) $；
(2) 顺次连接点 $ A $，$ B $，$ C $，组成三角形 $ ABC $，求三角形 $ ABC $ 的面积。
(2) 顺次连接点 $ A $，$ B $，$ C $，组成三角形 $ ABC $，求三角形 $ ABC $ 的面积。
答案
(2) 17/2
解析
(1) 描点略（在平面直角坐标系中分别找出点A(-1,0)、B(3,-1)、C(4,3)的位置并标记）。
(2) 以点A(-1,0)、B(3,-1)、C(4,3)为顶点，构造矩形，矩形的左上角为(-1,3)，右上角为(4,3)，右下角为(4,-1)，左下角为(-1,-1)。
矩形面积：(4 - (-1))×(3 - (-1)) = 5×4 = 20。
减去三个直角三角形面积：
① 以(-1,0)、(-1,-1)、(3,-1)为顶点的三角形，面积 = 1/2×(3 - (-1))×(0 - (-1)) = 1/2×4×1 = 2；
② 以(3,-1)、(4,-1)、(4,3)为顶点的三角形，面积 = 1/2×(4 - 3)×(3 - (-1)) = 1/2×1×4 = 2；
③ 以(-1,0)、(-1,3)、(4,3)为顶点的三角形，面积 = 1/2×(4 - (-1))×(3 - 0) = 1/2×5×3 = 7.5。
三角形ABC面积 = 20 - 2 - 2 - 7.5 = 8.5 = 17/2。
(2) 以点A(-1,0)、B(3,-1)、C(4,3)为顶点，构造矩形，矩形的左上角为(-1,3)，右上角为(4,3)，右下角为(4,-1)，左下角为(-1,-1)。
矩形面积：(4 - (-1))×(3 - (-1)) = 5×4 = 20。
减去三个直角三角形面积：
① 以(-1,0)、(-1,-1)、(3,-1)为顶点的三角形，面积 = 1/2×(3 - (-1))×(0 - (-1)) = 1/2×4×1 = 2；
② 以(3,-1)、(4,-1)、(4,3)为顶点的三角形，面积 = 1/2×(4 - 3)×(3 - (-1)) = 1/2×1×4 = 2；
③ 以(-1,0)、(-1,3)、(4,3)为顶点的三角形，面积 = 1/2×(4 - (-1))×(3 - 0) = 1/2×5×3 = 7.5。
三角形ABC面积 = 20 - 2 - 2 - 7.5 = 8.5 = 17/2。
【变式 2】(2024 绵阳涪城区期末)已知 $ A(2,0) $，$ B(0,2) $，若点 $ P $ 在 $ x $ 轴上，且三角形 $ ABP $ 的面积为 4，则点 $ P $ 的坐标为。
答案
$(-2,0) $或$ (6, 0)$
解析
设点 $ P $ 的坐标为 $ (x, 0) $。
因为点 $ A(2,0) $ 和点 $ P(x, 0) $ 都在 $ x $ 轴上，所以 $ AP $ 的长度为 $ |x - 2| $。
点 $ B(0,2) $ 到 $ x $ 轴的距离为 2（即 $ OB $ 的长度，$ O $ 为坐标原点）。
三角形 $ ABP $ 的面积可以表示为：
$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × |x - 2| × 2 = 4$，
即$|x - 2| = 4$，
解这个绝对值方程，我们得到两个$x - 2 = 4 \quad \mathrm{或} \quad x - 2 = -4$，
解得：$x = 6 \quad \mathrm{或} \quad x = -2$。
因此，点 $ P $ 的坐标为 $ (-2, 0) $ 或 $ (6, 0) $。
因为点 $ A(2,0) $ 和点 $ P(x, 0) $ 都在 $ x $ 轴上，所以 $ AP $ 的长度为 $ |x - 2| $。
点 $ B(0,2) $ 到 $ x $ 轴的距离为 2（即 $ OB $ 的长度，$ O $ 为坐标原点）。
三角形 $ ABP $ 的面积可以表示为：
$S_{△ ABP} = \frac{1}{2} × |x - 2| × 2 = 4$，
即$|x - 2| = 4$，
解这个绝对值方程，我们得到两个$x - 2 = 4 \quad \mathrm{或} \quad x - 2 = -4$，
解得：$x = 6 \quad \mathrm{或} \quad x = -2$。
因此，点 $ P $ 的坐标为 $ (-2, 0) $ 或 $ (6, 0) $。
1. 如图，已知每个小正方形的边长为 500，建立适当的平面直角坐标系，小刚家的位置坐标为 $ (1000,1500) $，则学校的位置坐标为()。
A.$ (1500,1000) $
B.$ (1500,1500) $
C.$ (2000,1000) $
D.$ (2000,1500) $
A.$ (1500,1000) $
B.$ (1500,1500) $
C.$ (2000,1000) $
D.$ (2000,1500) $
答案
A
解析
以小刚家所在小正方形左下角顶点为原点建立坐标系，小刚家坐标为(1000,1500)，每个小正方形边长500，故小刚家在第2列第3行小正方形右上角。学校在小刚家右边1个小正方形、下方1个小正方形，横坐标1000+500=1500，纵坐标1500-500=1000，坐标为(1500,1000)。
2. 已知点 $ P(6,-6) $，$ Q(-6,-6) $，则直线 $ PQ $()。
A.平行于 $ x $ 轴
B.平行于 $ y $ 轴
C.不平行于任何坐标轴
D.不能确定
A.平行于 $ x $ 轴
B.平行于 $ y $ 轴
C.不平行于任何坐标轴
D.不能确定
答案
A
解析
已知点$P(6,-6)$和点$Q(-6,-6)$，因为两点纵坐标相等（都为$-6$），根据在平面直角坐标系中，纵坐标相同的点所构成的直线平行于$x$轴，所以直线$PQ$平行于$x$轴。
3. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 $ ABC $ 的面积是()。
A.2
B.4
C.8
D.6
A.2
B.4
C.8
D.6
答案
B
解析
由图知，点 $A$ 的坐标是 $(0, 2)$，点 $B$ 的坐标是 $(-1, 0)$，点 $C$ 的坐标是 $(3, 0)$。
三角形 $ABC$ 的底边为 $BC$，其长度为 $BC = |3 - (-1)| = 4$。
三角形的高为顶点 $A$ 到 $x$ 轴的垂直距离，即 $2$。
因此，三角形 $ABC$ 的面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × \mathrm{底边长} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
三角形 $ABC$ 的底边为 $BC$，其长度为 $BC = |3 - (-1)| = 4$。
三角形的高为顶点 $A$ 到 $x$ 轴的垂直距离，即 $2$。
因此，三角形 $ABC$ 的面积为：
$\mathrm{面积} = \frac{1}{2} × \mathrm{底边长} × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × 4 × 2 = 4$。
4. 如图，将边长为 2 的正方形 $ ABCD $ 放在平面直角坐标系中，使点 $ C $ 的坐标是 $ (0.5,0.5) $。请建立平面直角坐标系，并写出点 $ A $，$ B $，$ D $ 的坐标。
答案
以点$C(0.5,0.5)$为基准，反推正方形各个顶点坐标，建立直角坐标系。
由于正方形边长为2，$A$点坐标：
横坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
纵坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
所以$A(-1.5, -1.5)$。
$B$点坐标：
横坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
纵坐标：$0.5$，
所以$B(-1.5, 0.5)$。
$D$点坐标：
横坐标：$0.5$，
纵坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
所以$D(0.5, -1.5)$。
建立平面直角坐标系，并依据上述计算，得出：
$A(-1.5, -1.5)$，
$B(-1.5, 0.5)$，
$D(0.5, -1.5)$。
由于正方形边长为2，$A$点坐标：
横坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
纵坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
所以$A(-1.5, -1.5)$。
$B$点坐标：
横坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
纵坐标：$0.5$，
所以$B(-1.5, 0.5)$。
$D$点坐标：
横坐标：$0.5$，
纵坐标：$0.5 - 2 = -1.5$，
所以$D(0.5, -1.5)$。
建立平面直角坐标系，并依据上述计算，得出：
$A(-1.5, -1.5)$，
$B(-1.5, 0.5)$，
$D(0.5, -1.5)$。
