1. 二次函数$y= -(x+1)^2+6$的最大值是( )
A.1
B.-1
C.-6
D.6
A.1
B.-1
C.-6
D.6
答案
D
解析
对于二次函数$y = -(x + 1)^2 + 6$，其顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$，其中$a=-1$，$h=-1$，$k=6$。因为$a=-1＜0$，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为$k=6$。
D
D
2. 抛物线$y= 2(x-3)(x+4)与x$轴交点的横坐标分别为( )
A.-3,-4
B.3,4
C.-3,4
D.3,-4
A.-3,-4
B.3,4
C.-3,4
D.3,-4
答案
D
解析
令$y=0$，则$2(x - 3)(x + 4)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-4$。D
3. 下列函数中,$y随x$的增大而减小的是( )
A.$y= x+1$
B.$y= 2x^2(x＞0)$
C.$y= -\frac{1}{x}$
D.$y= -x^2(x＞0)$
A.$y= x+1$
B.$y= 2x^2(x＞0)$
C.$y= -\frac{1}{x}$
D.$y= -x^2(x＞0)$
答案
D
解析
A. $y=x+1$，$k=1＞0$，$y$随$x$的增大而增大；
B. $y=2x^2(x＞0)$，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
C. $y=-\frac{1}{x}$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
D. $y=-x^2(x＞0)$，抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
D
B. $y=2x^2(x＞0)$，抛物线开口向上，对称轴为$y$轴，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；
C. $y=-\frac{1}{x}$，在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大；
D. $y=-x^2(x＞0)$，抛物线开口向下，对称轴为$y$轴，在$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
D
4. 关于抛物线$y= x^2-2x-1$,下列说法中错误的是( )
A.开口向上
B.对称轴是直线$x= 1$
C.顶点坐标为$(1,-2)$
D.当$x＞1$时,$y随x$的增大而减小
A.开口向上
B.对称轴是直线$x= 1$
C.顶点坐标为$(1,-2)$
D.当$x＞1$时,$y随x$的增大而减小
答案
D
解析
对于抛物线$y = x^2 - 2x - 1$：
因为二次项系数$1＞0$，所以开口向上，A正确；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，B正确；
当$x = 1$时，$y=1^2-2×1 - 1=-2$，顶点坐标为$(1,-2)$，C正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线$x = 1$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，D错误。
D
因为二次项系数$1＞0$，所以开口向上，A正确；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2×1}=1$，B正确；
当$x = 1$时，$y=1^2-2×1 - 1=-2$，顶点坐标为$(1,-2)$，C正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线$x = 1$，当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，D错误。
D
5. 若点$A(-2,y_1),B(0,y_2),C(1,y_3)为二次函数y= x^2-2x+1$的图象上的三点,则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是( )
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_3＜y_1＜y_2$
D.$y_1＜y_3＜y_2$
答案
B
解析
当$x=-2$时，$y_1=(-2)^2 - 2×(-2)+1=4 + 4 + 1=9$；
当$x=0$时，$y_2=0^2 - 2×0 + 1=0 - 0 + 1=1$；
当$x=1$时，$y_3=1^2 - 2×1 + 1=1 - 2 + 1=0$；
因为$0＜1＜9$，所以$y_3＜y_2＜y_1$。
B
当$x=0$时，$y_2=0^2 - 2×0 + 1=0 - 0 + 1=1$；
当$x=1$时，$y_3=1^2 - 2×1 + 1=1 - 2 + 1=0$；
因为$0＜1＜9$，所以$y_3＜y_2＜y_1$。
B
6. 抛物线$y= -x^2+2x+3$的顶点坐标是______,对称轴是______,当______时,$y随x$的增大而增大,抛物线与$y$轴的交点坐标是______.
答案
(1,4) 直线x=1 x≤1 (0,3)
解析
(1,4) 直线$x=1$ $x \leq 1$ $(0,3)$
7. 已知$A(4,y_1),B(-4,y_2)是抛物线y= (x+3)^2 - a$上的两点,则$y_1与y_2的大小关系是y_1$______$y_2$.
答案
＞
解析
当$x = 4$时，$y_1=(4 + 3)^2 - a=7^2 - a=49 - a$；当$x=-4$时，$y_2=(-4 + 3)^2 - a=(-1)^2 - a=1 - a$。因为$49 - a＞1 - a$，所以$y_1＞y_2$。
＞
＞
8. 已知点$A(0,3),B(2,3)是抛物线y= -(x-b)^2+4$上的两点,则该抛物线的顶点坐标是______.
答案
(1,4)
解析
将点$A(0,3)$代入$y=-(x-b)^2 + 4$，得$3=-(0 - b)^2 + 4$，即$-b^2 + 4 = 3$，$b^2 = 1$，解得$b = 1$或$b=-1$。
将点$B(2,3)$代入$y=-(x - b)^2 + 4$，得$3=-(2 - b)^2 + 4$，即$-(2 - b)^2 + 4 = 3$，$(2 - b)^2 = 1$，解得$b = 1$或$b = 3$。
综上，$b = 1$，抛物线解析式为$y=-(x - 1)^2 + 4$，顶点坐标是$(1,4)$。
$(1,4)$
将点$B(2,3)$代入$y=-(x - b)^2 + 4$，得$3=-(2 - b)^2 + 4$，即$-(2 - b)^2 + 4 = 3$，$(2 - b)^2 = 1$，解得$b = 1$或$b = 3$。
综上，$b = 1$，抛物线解析式为$y=-(x - 1)^2 + 4$，顶点坐标是$(1,4)$。
$(1,4)$
9. 求下列函数的最大值(或最小值)和对应的自变量的值.
(1)$y= x^2-6x-1$.
(2)$y= -3x^2+12x+2$.
(3)$y= -\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{17}{8}$.
(1)$y= x^2-6x-1$.
(2)$y= -3x^2+12x+2$.
(3)$y= -\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{17}{8}$.
答案
解:
(1)
∵二次函数y=x²-6x-1=(x-3)²-10,
∴当x=3时,函数y有最小值-10.
(2)
∵二次函数y=-3x²+12x+2=-3(x-2)²+14,
∴当x=2时,函数y有最大值14.
(3)
∵二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x²-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{17}{8}=-\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{1}{2})²-2.$
∴当$x=-\dfrac{1}{2}$时,函数y有最大值-2.
(1)
∵二次函数y=x²-6x-1=(x-3)²-10,
∴当x=3时,函数y有最小值-10.
(2)
∵二次函数y=-3x²+12x+2=-3(x-2)²+14,
∴当x=2时,函数y有最大值14.
(3)
∵二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x²-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{17}{8}=-\dfrac{1}{2}(x+\dfrac{1}{2})²-2.$
∴当$x=-\dfrac{1}{2}$时,函数y有最大值-2.
