登录
1. 已知关于$x的方程2(x+m)-4= 0的解是x= 2$,则$m$的值为( )
A.$1$
B.$0$
C.$-1$
D.$-\frac{1}{3}$
A.$1$
B.$0$
C.$-1$
D.$-\frac{1}{3}$
答案
B
解析
【分析】
本题是已知一元一次方程的解求参数的问题，解题核心思路是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。我们只需将已知的解x=2代入原方程，就可以把原方程转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到m的值。
【解析】
将x=2代入方程2(x+m)-4=0，得：
$2×(2+m)-4=0$
先计算乘法：$4+2m-4=0$
化简得：$2m=0$
系数化为1得：$m=0$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是含参数一元一次方程的基础题型，解题关键是掌握方程解的定义，通过代入将含参方程转化为常规一元一次方程求解，计算难度低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
本题是已知一元一次方程的解求参数的问题，解题核心思路是利用方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。我们只需将已知的解x=2代入原方程，就可以把原方程转化为只含有未知数m的一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到m的值。
【解析】
将x=2代入方程2(x+m)-4=0，得：
$2×(2+m)-4=0$
先计算乘法：$4+2m-4=0$
化简得：$2m=0$
系数化为1得：$m=0$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是含参数一元一次方程的基础题型，解题关键是掌握方程解的定义，通过代入将含参方程转化为常规一元一次方程求解，计算难度低，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.9
2. 若关于$x的方程5x+2k= 21与5x-7= 0$有相同的解,则$k$的值是( )
A.$\frac{7}{5}$
B.$\frac{5}{7}$
C.$7$
D.$14$
A.$\frac{7}{5}$
B.$\frac{5}{7}$
C.$7$
D.$14$
答案
C
解析
【分析】
两个方程有相同的解，说明x的取值能同时满足两个方程。解题时先求解不含参数的方程5x-7=0，得到x的具体值，再把x的值代入含参数k的方程5x+2k=21，就能得到只关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
1. 先解方程$5x - 7 = 0$：
移项得$5x = 7$，系数化为1，得$x = \frac{7}{5}$。
2. 由于两个方程同解，将$x = \frac{7}{5}$代入$5x + 2k = 21$：
代入得$5×\frac{7}{5} + 2k = 21$，化简得$7 + 2k = 21$。
移项得$2k = 21 - 7 = 14$，系数化为1，得$k = 7$。
【答案】
C
【知识点】
同解方程、解一元一次方程、含参方程求解
【点评】
本题是同解方程类的基础题型，解题核心是抓住“解相同”的条件，先求出无参数方程的解，再代入含参方程求解参数，掌握该方法就能快速解答同类问题。
【难度系数】
0.8
两个方程有相同的解，说明x的取值能同时满足两个方程。解题时先求解不含参数的方程5x-7=0，得到x的具体值，再把x的值代入含参数k的方程5x+2k=21，就能得到只关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值。
【解析】
1. 先解方程$5x - 7 = 0$：
移项得$5x = 7$，系数化为1，得$x = \frac{7}{5}$。
2. 由于两个方程同解，将$x = \frac{7}{5}$代入$5x + 2k = 21$：
代入得$5×\frac{7}{5} + 2k = 21$，化简得$7 + 2k = 21$。
移项得$2k = 21 - 7 = 14$，系数化为1，得$k = 7$。
【答案】
C
【知识点】
同解方程、解一元一次方程、含参方程求解
【点评】
本题是同解方程类的基础题型，解题核心是抓住“解相同”的条件，先求出无参数方程的解，再代入含参方程求解参数，掌握该方法就能快速解答同类问题。
【难度系数】
0.8
3. 若关于$x的方程\frac{ax+3}{6}-x= 1$的解是正整数,则符合条件的所有整数$a$的和为______。
答案
16
解析
【分析】
这是一道含参数的一元一次方程整数解问题，解题思路分三步：第一，先把参数a当作已知数，按照一元一次方程的常规解法，求出x用a表示的代数式；第二，根据“方程的解是正整数”的条件，可知x＞0且x为正整数，因此分母(a-6)必须是3的正约数，由此推导a的所有符合条件的整数值；第三，将符合条件的整数a相加即可得到结果。
【解析】
先解关于x的方程$\frac{ax+3}{6}-x=1$：
1. 去分母，方程两边同时乘6，得：$ax + 3 - 6x = 6$
2. 移项，将含x的项留在等号左侧，常数项移到右侧，得：$ax - 6x = 6 - 3$
3. 合并同类项，得：$(a - 6)x = 3$
4. 当$a ≠ 6$时，系数化为1，得：$x = \frac{3}{a - 6}$
已知方程的解是正整数，且a为整数，因此$a - 6$是3的正约数：
3的正约数为1、3，因此：
当$a - 6 = 1$时，$a = 7$，此时$x = 3$，符合要求；
当$a - 6 = 3$时，$a = 9$，此时$x = 1$，符合要求。
符合条件的整数a为7和9，二者的和为$7 + 9 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 含参数方程的整数解问题
【点评】
本题解题的关键是先将参数视为常数求解方程，再结合解的限制条件推导参数的取值，需要注意正整数解要求分母为分子的正约数，避免错取负约数导致多算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数的一元一次方程整数解问题，解题思路分三步：第一，先把参数a当作已知数，按照一元一次方程的常规解法，求出x用a表示的代数式；第二，根据“方程的解是正整数”的条件，可知x＞0且x为正整数，因此分母(a-6)必须是3的正约数，由此推导a的所有符合条件的整数值；第三，将符合条件的整数a相加即可得到结果。
【解析】
先解关于x的方程$\frac{ax+3}{6}-x=1$：
1. 去分母，方程两边同时乘6，得：$ax + 3 - 6x = 6$
2. 移项，将含x的项留在等号左侧，常数项移到右侧，得：$ax - 6x = 6 - 3$
3. 合并同类项，得：$(a - 6)x = 3$
4. 当$a ≠ 6$时，系数化为1，得：$x = \frac{3}{a - 6}$
已知方程的解是正整数，且a为整数，因此$a - 6$是3的正约数：
3的正约数为1、3，因此：
当$a - 6 = 1$时，$a = 7$，此时$x = 3$，符合要求；
当$a - 6 = 3$时，$a = 9$，此时$x = 1$，符合要求。
符合条件的整数a为7和9，二者的和为$7 + 9 = 16$。
【答案】
16
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 含参数方程的整数解问题
【点评】
本题解题的关键是先将参数视为常数求解方程，再结合解的限制条件推导参数的取值，需要注意正整数解要求分母为分子的正约数，避免错取负约数导致多算错误。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于$x的一元一次方程m(x+2)= 8-2n的解是x= 2$,则$2m+n+3$的值是______。
答案
7
解析
【分析】
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：方程的解代入原方程可使等式左右两边相等。首先将已知的解x=2代入原方程，得到关于m、n的等式，再通过等式的性质对等式变形，凑出待求代数式中含有的“2m+n”这一整体，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求出m、n的具体值。
【解析】
∵ x=2是一元一次方程$m(x+2)=8-2n$的解
∴ 将x=2代入方程，等式成立，即：
$m×(2+2)=8-2n$
化简得：$4m=8-2n$
移项可得：$4m+2n=8$
等式两边同时除以2，得：$2m+n=4$
将$2m+n=4$代入代数式$2m+n+3$，得：
$4+3=7$
【答案】
7
【知识点】
一元一次方程的解；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题重点考查方程解的应用，解题时运用整体代入的思想可简化计算，避免分别求解参数的繁琐，是处理含多个参数代数式求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用一元一次方程解的定义：方程的解代入原方程可使等式左右两边相等。首先将已知的解x=2代入原方程，得到关于m、n的等式，再通过等式的性质对等式变形，凑出待求代数式中含有的“2m+n”这一整体，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求出m、n的具体值。
【解析】
∵ x=2是一元一次方程$m(x+2)=8-2n$的解
∴ 将x=2代入方程，等式成立，即：
$m×(2+2)=8-2n$
化简得：$4m=8-2n$
移项可得：$4m+2n=8$
等式两边同时除以2，得：$2m+n=4$
将$2m+n=4$代入代数式$2m+n+3$，得：
$4+3=7$
【答案】
7
【知识点】
一元一次方程的解；等式的性质；代数式求值
【点评】
本题重点考查方程解的应用，解题时运用整体代入的思想可简化计算，避免分别求解参数的繁琐，是处理含多个参数代数式求值问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于$x的一个方程(m-3)x^{|m|-2}-18= 0$是一元一次方程.
(1)$m= $______；
(2)若这个方程的解与关于$y的一元一次方程y-\frac{y-2}{2}= n+\frac{2y-1}{3}$的解互为相反数,求$n$的值.
(1)$m= $______；
(2)若这个方程的解与关于$y的一元一次方程y-\frac{y-2}{2}= n+\frac{2y-1}{3}$的解互为相反数,求$n$的值.
答案
(1)-3
(2)由
(1)知m=-3,则(-3-3)x-18=0,解得x=-3. 因为这个方程的解与关于y的一元一次方程$y-\frac{y-2}{2}=n+\frac{2y-1}{3}$的解互为相反数, 所以$y-\frac{y-2}{2}=n+\frac{2y-1}{3}$的解为y=3, 把y=3代入$y-\frac{y-2}{2}=n+\frac{2y-1}{3}$, 得$3-\frac{3-2}{2}=n+\frac{2×3-1}{3}$, 解得$n=\frac{5}{6}$.
解析
【分析】
(1) 求解m的值需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程需满足三个条件：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为0。据此列出关于m的关系式求解即可。
(2) 先将(1)中求得的m代入第一个方程，求出x的解；再根据两个方程的解互为相反数，得到第二个方程的解y的值；最后将y代入关于y的一元一次方程，即可解出n的值。
【解析】
(1) 因为方程$(m-3)x^{|m|-2}-18= 0$是一元一次方程，所以未知数次数为1，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |m|-2=1 \\ m-3≠0 \end{cases}$
由$|m|-2=1$得$|m|=3$，解得$m=3$或$m=-3$；
由$m-3≠0$得$m≠3$，综上$m=-3$。
(2) 将$m=-3$代入第一个方程，得：
$(-3-3)x -18 = 0$，即$-6x=18$，解得$x=-3$。
因为两个方程的解互为相反数，所以关于y的方程的解为$y=3$。
将$y=3$代入方程$y-\frac{y-2}{2}= n+\frac{2y-1}{3}$，得：
$3-\frac{3-2}{2}=n+\frac{2×3 -1}{3}$
计算左边得$3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，计算右边得$n+\frac{5}{3}$，则：
$\frac{5}{2}=n+\frac{5}{3}$
解得$n=\frac{5}{2}-\frac{5}{3}=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1)$-3$；(2)$n=\frac{5}{6}$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于含参数的一元一次方程基础综合题，解题核心是熟练掌握一元一次方程的定义，尤其注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，再结合方程解的性质代入计算即可，易错点是第一问误将m=3作为结果。
【难度系数】
0.7
(1) 求解m的值需结合一元一次方程的定义思考：一元一次方程需满足三个条件：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为1；③未知数的系数不为0。据此列出关于m的关系式求解即可。
(2) 先将(1)中求得的m代入第一个方程，求出x的解；再根据两个方程的解互为相反数，得到第二个方程的解y的值；最后将y代入关于y的一元一次方程，即可解出n的值。
【解析】
(1) 因为方程$(m-3)x^{|m|-2}-18= 0$是一元一次方程，所以未知数次数为1，且一次项系数不为0，即：
$\begin{cases} |m|-2=1 \\ m-3≠0 \end{cases}$
由$|m|-2=1$得$|m|=3$，解得$m=3$或$m=-3$；
由$m-3≠0$得$m≠3$，综上$m=-3$。
(2) 将$m=-3$代入第一个方程，得：
$(-3-3)x -18 = 0$，即$-6x=18$，解得$x=-3$。
因为两个方程的解互为相反数，所以关于y的方程的解为$y=3$。
将$y=3$代入方程$y-\frac{y-2}{2}= n+\frac{2y-1}{3}$，得：
$3-\frac{3-2}{2}=n+\frac{2×3 -1}{3}$
计算左边得$3-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，计算右边得$n+\frac{5}{3}$，则：
$\frac{5}{2}=n+\frac{5}{3}$
解得$n=\frac{5}{2}-\frac{5}{3}=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1)$-3$；(2)$n=\frac{5}{6}$
【知识点】
一元一次方程的定义；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题属于含参数的一元一次方程基础综合题，解题核心是熟练掌握一元一次方程的定义，尤其注意不要遗漏一次项系数不为0的限制条件，再结合方程解的性质代入计算即可，易错点是第一问误将m=3作为结果。
【难度系数】
0.7
6. 若关于$x的方程\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}= 1-\frac{2x+1}{4}与x+\frac{6x-a}{3}= \frac{a}{6}-3x$的解互为倒数,求$(23-a)^{2024}$的值.
答案
解:$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}=1-\frac{2x+1}{4}$, 去分母,得2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1), 去括号,得2-4x+4x+4=12-6x-3, 移项,得-4x+4x+6x=12-3-2-4,解得$x=\frac{1}{2}$. 因为$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}=1-\frac{2x+1}{4}$与$x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解互为倒数, 所以$x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$的解为x=2. 把x=2代入$x+\frac{6x-a}{3}=\frac{a}{6}-3x$中,得$2+\frac{12-a}{3}=\frac{a}{6}-6$,去分母,得12+2(12-a)=a-36, 去括号,得12+24-2a=a-36, 移项,得-2a-a=-36-12-24, 合并同类项,得-3a=-72,解得a=24. 所以$(23-a)^{2024}=(23-24)^{2024}=(-1)^{2024}=1$. 所以$(23-a)^{2024}$的值为1.
解析
【分析】
解题可按三步思路进行：第一步，先求解第一个不含参数的一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求出它的解；第二步，根据两个方程的解互为倒数的条件，算出第二个含参方程的解；第三步，将第二个方程的解代入其中，求出参数a的值，最后把a代入所求的代数式计算乘方结果即可。
【解析】
先解方程$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}= 1-\frac{2x+1}{4}$：
去分母，得$2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1)$，
去括号，得$2-4x+4x+4=12-6x-3$，
移项，得$-4x+4x+6x=12-3-2-4$，
合并同类项，得$6x=3$，
系数化为1，得$x=\frac{1}{2}$。
因为两个方程的解互为倒数，所以方程$x+\frac{6x-a}{3}= \frac{a}{6}-3x$的解为$x=2$。
把$x=2$代入该含参方程，得$2+\frac{12-a}{3}=\frac{a}{6}-6$，
去分母，得$12+2(12-a)=a-36$，
去括号，得$12+24-2a=a-36$，
移项，得$-2a-a=-36-12-24$，
合并同类项，得$-3a=-72$，
系数化为1，得$a=24$。
将$a=24$代入$(23-a)^{2024}$，得$(23-24)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解法，倒数的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于一元一次方程综合应用题，解题关键是先求解无参数方程得到解，再利用倒数关系确定含参方程的解，进而求出参数后代入计算代数式结果，主要考查一元一次方程求解步骤的掌握程度和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思路进行：第一步，先求解第一个不含参数的一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的常规步骤求出它的解；第二步，根据两个方程的解互为倒数的条件，算出第二个含参方程的解；第三步，将第二个方程的解代入其中，求出参数a的值，最后把a代入所求的代数式计算乘方结果即可。
【解析】
先解方程$\frac{1-2x}{6}+\frac{x+1}{3}= 1-\frac{2x+1}{4}$：
去分母，得$2(1-2x)+4(x+1)=12-3(2x+1)$，
去括号，得$2-4x+4x+4=12-6x-3$，
移项，得$-4x+4x+6x=12-3-2-4$，
合并同类项，得$6x=3$，
系数化为1，得$x=\frac{1}{2}$。
因为两个方程的解互为倒数，所以方程$x+\frac{6x-a}{3}= \frac{a}{6}-3x$的解为$x=2$。
把$x=2$代入该含参方程，得$2+\frac{12-a}{3}=\frac{a}{6}-6$，
去分母，得$12+2(12-a)=a-36$，
去括号，得$12+24-2a=a-36$，
移项，得$-2a-a=-36-12-24$，
合并同类项，得$-3a=-72$，
系数化为1，得$a=24$。
将$a=24$代入$(23-a)^{2024}$，得$(23-24)^{2024}=(-1)^{2024}=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元一次方程的解法，倒数的定义，有理数的乘方
【点评】
本题属于一元一次方程综合应用题，解题关键是先求解无参数方程得到解，再利用倒数关系确定含参方程的解，进而求出参数后代入计算代数式结果，主要考查一元一次方程求解步骤的掌握程度和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如果关于$x的方程\frac{3x+5}{2}-7= \frac{2x-a}{3}-1的解比4x-(3a+1)= 6x+2a+1的解大1$,求式子$a^{2}-4a+1$的值.
答案
解:$\frac{3x+5}{2}-7=\frac{2x-a}{3}-1$, 去分母,得3(3x+5)-42=2(2x-a)-6. 去括号,得9x+15-42=4x-2a-6. 移项及合并同类项,得5x=21-2a. 系数化为1,得$x=\frac{21-2a}{5}$. 解方程4x-(3a+1)=6x+2a+1,得$x=\frac{-5a-2}{2}$. 由题意,得$\frac{21-2a}{5}-\frac{-5a-2}{2}=1$,解得a=-2. 故$a^{2}-4a+1=13$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按三步思路推导：第一步，先分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含参数a的代数式表示，解一元一次方程时要严格遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意符号不要出错；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的条件，列出关于a的一元一次方程；第三步，求解得到a的值后，代入式子$a^2-4a+1$计算最终结果即可。
【解析】
1. 解第一个方程$\frac{3x+5}{2}-7= \frac{2x-a}{3}-1$：
去分母，两边同时乘6得：$3(3x+5)-42=2(2x-a)-6$
去括号得：$9x+15-42=4x-2a-6$
移项、合并同类项得：$5x=21-2a$
系数化为1得：$x=\frac{21-2a}{5}$
2. 解第二个方程$4x-(3a+1)= 6x+2a+1$：
移项得：$4x-6x=2a+1+3a+1$
合并同类项得：$-2x=5a+2$
系数化为1得：$x=\frac{-5a-2}{2}$
3. 根据题意列方程求a：
由第一个方程的解比第二个大1，可得：
$\frac{21-2a}{5}-\frac{-5a-2}{2}=1$
去分母，两边同时乘10得：$2(21-2a)-5(-5a-2)=10$
去括号得：$42-4a+25a+10=10$
合并同类项得：$21a=-42$
系数化为1得：$a=-2$
4. 代入求代数式的值：
把$a=-2$代入$a^2-4a+1$，得：
$(-2)^2 -4×(-2)+1=4+8+1=13$
【答案】
13
【知识点】
解一元一次方程，含参方程的应用，代数式求值
【点评】
本题考查一元一次方程的解法和含参数问题的处理逻辑，核心是先将两个方程的解用参数表示，再根据解的数量关系建立关于参数的方程，求解后代入代数式计算即可，解题时要注意去分母、移项过程中的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按三步思路推导：第一步，先分别解两个关于x的一元一次方程，将两个方程的解都用含参数a的代数式表示，解一元一次方程时要严格遵循去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，注意符号不要出错；第二步，根据“第一个方程的解比第二个方程的解大1”的条件，列出关于a的一元一次方程；第三步，求解得到a的值后，代入式子$a^2-4a+1$计算最终结果即可。
【解析】
1. 解第一个方程$\frac{3x+5}{2}-7= \frac{2x-a}{3}-1$：
去分母，两边同时乘6得：$3(3x+5)-42=2(2x-a)-6$
去括号得：$9x+15-42=4x-2a-6$
移项、合并同类项得：$5x=21-2a$
系数化为1得：$x=\frac{21-2a}{5}$
2. 解第二个方程$4x-(3a+1)= 6x+2a+1$：
移项得：$4x-6x=2a+1+3a+1$
合并同类项得：$-2x=5a+2$
系数化为1得：$x=\frac{-5a-2}{2}$
3. 根据题意列方程求a：
由第一个方程的解比第二个大1，可得：
$\frac{21-2a}{5}-\frac{-5a-2}{2}=1$
去分母，两边同时乘10得：$2(21-2a)-5(-5a-2)=10$
去括号得：$42-4a+25a+10=10$
合并同类项得：$21a=-42$
系数化为1得：$a=-2$
4. 代入求代数式的值：
把$a=-2$代入$a^2-4a+1$，得：
$(-2)^2 -4×(-2)+1=4+8+1=13$
【答案】
13
【知识点】
解一元一次方程，含参方程的应用，代数式求值
【点评】
本题考查一元一次方程的解法和含参数问题的处理逻辑，核心是先将两个方程的解用参数表示，再根据解的数量关系建立关于参数的方程，求解后代入代数式计算即可，解题时要注意去分母、移项过程中的符号问题，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
