11. 在$△ABC$中,$∠C=90^{\circ },a$、$b$、$c$分别表示$∠A$、$∠B$、$∠C$的对边,$tanA=\frac {3}{4},c=5\sqrt {13}$.求$a$、$b$.
答案
解：设a=3x
在Rt△ABC中，∵$tan A=\frac {a}b=\frac 34，$a=3x
∴b=4x
∴$c=\sqrt {a^2+b^2}=5x$
∵$c=5\sqrt {13}$
∴$5x=5\sqrt {13}$
解得$x=\sqrt {13}$
∴$a=3x=3\sqrt {13}，$$b=4x=4\sqrt {13}$
在Rt△ABC中，∵$tan A=\frac {a}b=\frac 34，$a=3x
∴b=4x
∴$c=\sqrt {a^2+b^2}=5x$
∵$c=5\sqrt {13}$
∴$5x=5\sqrt {13}$
解得$x=\sqrt {13}$
∴$a=3x=3\sqrt {13}，$$b=4x=4\sqrt {13}$
12. 如图,在$△ABC$中,$∠A=α,∠B=β,CD⊥AB$,垂足为$D$,且$CD=h$.求$AB$的长.
答案
解：在Rt△ACD中，∵∠A=α，CD=h
∴$tan α=\frac {CD}{AD}$
∴$AD=\frac {CD}{tan α}=\frac {h}{tan α}$
同理可得$BD=\frac {CD}{tan β}=\frac {h}{tan β}$
∴$AB=AD+BD=\frac {h}{tan α}+\frac h{tan β}$
∴$tan α=\frac {CD}{AD}$
∴$AD=\frac {CD}{tan α}=\frac {h}{tan α}$
同理可得$BD=\frac {CD}{tan β}=\frac {h}{tan β}$
∴$AB=AD+BD=\frac {h}{tan α}+\frac h{tan β}$
13. 在$△ABC$中,$AB=AC,CH$是边$AB$上的高,且$CH=\frac {3}{5}AB$.求$tanB$的值.
答案
解：分两种情况
①当△ABC为锐角三角形时
在Rt△ACH中，∵AC=AB，$CH=\frac 35AB$
∴$AH=\sqrt {AC^2-CH^2}=\frac 45AB$
∴$BH=AB-AH=\frac 15AB$
在Rt△BCH中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 15AB$
∴$tan B=\frac {CH}{BH}=3$
②当△ABC为钝角三角形时
同理，$AH=\frac 45AB$
∴$BH=AB+AH=\frac 95AB$
在Rt△BCH中，∵$CH=\frac 35AB，$$BH=\frac 95AB$
∴$tan B=\frac {CH}{BH}=\frac 13$
综上所述，tan B的值为3或$\frac 13$
