5. 如图，在△ABC中，AB = 6，AC = 4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似，求AQ的长。

解：若​△AQP∽△ABC​
则有$​\frac {AQ}{AB}=\frac {AP}{AC}，$​即$​\frac {AQ}6=\frac 12​$
∴​AQ=3​
若​△APQ∽△ABC​
则有$​\frac {AP}{AB}=\frac {AQ}{AC}，$​即$​\frac {2}6=\frac {AQ}4​$
∴$​AQ=\frac {4}{3}​$
综上，​AQ ​的长为​3​或$​\frac 43​$

1. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC与△DEF的顶点都在格点上。
(1) 判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由。
(2) P₁、P₂、P₃、P₄、P₅、D、F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)。

解：​ (1)​相似
$​AB=2\sqrt{5}，$$​​AC=\sqrt{5}，$​​BC=5​
$​DE= 4\sqrt{2}，$$​​DF= 2\sqrt{2}，$$​​EF= 2\sqrt{10}​$
∴$​\frac {AC}{DF}=\frac {AB}{DE}=\frac {BC}{EF}=\frac {\sqrt{10}}{4} ​$
∴​△ABC∽△DEF​
$​(2)△{P}_2{P}_5D，$$​​{P}_4{P}_5F$

2. 学习本章后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
(1) “对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形全等”。类似地，你可以得到“满足或，两个直角三角形相似”。
(2) “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请你结合右图，写出已知，并完成说理过程。
已知：如图，。
求证：Rt△ABC∽Rt△A'B'C'。

一个锐角对应相等
两直角边对应成比例
斜边和一条直角边对应成比例
在​Rt△ABC​和​Rt△A'B'C'，∠C=∠C'=90°，$\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}​$
证明：设$​\frac {AB}{A'B'}=\frac {BC}{B'C'}=k​$
则​AB=kA'B'，​​BC=kB'C'​
∵​∠C=∠C'=90°​
∴​AC²= AB²- BC²，​​A'C'²= A'B'²- B'C'²​
∴​AC²=k²(A'B'²-B'C'²)= k²A'C'²​
∴​AC= kA'C'​
∴$​\frac {AB}{A'B'}=\frac {AC}{A'C'}=\frac {BC}{B'C'}​$
∴​Rt△ABC∽Rt△A'B'C'