10. 已知$|2a - 4| + \sqrt{a^{2} + b - 1} = 0$，求$a$，$b$的值.

答题卡：
因为$|2a - 4| ≥ 0$，$\sqrt{a^{2} + b - 1} ≥ 0$，且$|2a - 4| + \sqrt{a^{2} + b - 1} = 0$。
所以$\begin{cases}2a - 4 = 0.\\a^{2} + b - 1 = 0.\end{cases}$
由$2a - 4 = 0$，解得$a = 2$。
把$a = 2$代入$a^{2} + b - 1 = 0$，得$4 + b - 1 = 0$，解得$b = -3$。
综上，$a = 2$，$b = -3$。

1. 已知$△ ABC$的三边长$a$，$b$，$c$均为整数，且$a$和$b$满足$\sqrt{a - 2} + b^{2} - 6b + 9 = 0$.试求$c$的所有可能的值.

答题卡填入内容如下：
因为$\sqrt{a - 2} + b^{2} - 6b + 9 = 0$，
将式子中的$b^{2} - 6b + 9$进行配方，根据完全平方公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，可得$b^{2} - 6b + 9=(b - 3)^{2}$，则原方程可化为$\sqrt{a - 2}+(b - 3)^{2}=0$。
由于算术平方根具有非负性，即$\sqrt{a - 2}≥0$，一个数的平方也具有非负性，即$(b - 3)^{2}≥0$。
两个非负数的和为$0$，则这两个非负数都为$0$，可得$\begin{cases}\sqrt{a - 2}=0\\b - 3 = 0\end{cases}$。
由$\sqrt{a - 2}=0$，两边同时平方可得$a - 2 = 0$，解得$a = 2$；由$b - 3 = 0$，解得$b = 3$。
根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，可得$b - a＜ c＜ a + b$，即$3 - 2＜ c＜ 2 + 3$，$1＜ c＜ 5$。
又因为$c$为整数，所以$c$的所有可能值为$2$，$3$，$4$。

2. 已知实数$a$满足$|2025 - a| + \sqrt{a - 2026} = a$，求$a - 2025^{2}$的值.

因为二次根式$\sqrt{a - 2026}$有意义，所以$a - 2026≥0$，即$a≥2026$。
因为$a≥2026$，所以$\vert2025 - a\vert=a - 2025$。
已知$\vert2025 - a\vert+\sqrt{a - 2026}=a$，将$\vert2025 - a\vert=a - 2025$代入可得：
$a - 2025+\sqrt{a - 2026}=a$。
移项可得：
$\sqrt{a - 2026}=2025$。
两边同时平方可得：
$a - 2026 = 2025^{2}$。
所以$a - 2025^{2}=2026$。
综上，$a - 2025^{2}$的值为$2026$。