8. 如图，$AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$AC// BD$，$AO = BO$，$E$，$F$ 分别是 $OC$，$OD$ 的中点。求证：四边形 $AFBE$ 是平行四边形。

8. 证明：$\because AC // BD$，$\therefore ∠ CAO = ∠ DBO$，$∠ ACO = ∠ BDO$。又$\because OA = OB$，$\therefore △ AOC ≌ △ BOD(AAS)$，$\therefore OC = OD$。又$\because E$，$F$分别是$OC$，$OD$的中点，$\therefore OE = \frac{1}{2}OC$，$OF = \frac{1}{2}OD$，$\therefore OE = OF$。又$\because AO = BO$，$\therefore$四边形$AFBE$是平行四边形。

9. 如图，这是由小正方形组成的 $3×3$ 的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，线段 $AB$ 的两个端点都在格点上，以 $AB$ 为对角线作平行四边形，使另外两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作 ()


A.$3$ 个
B.$4$ 个
C.$5$ 个
D.$6$ 个

9. C

10. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AB⊥ BC$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$，$E$ 为 $BD$ 的中点，且 $AD = BD$，$AB = 2$，$∠ BAC = 30°$，则 $DC =$。

10. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 【解析】如图，在$EA$上取一点$K$，使得$EK = CE$，连结$DK$，$BK$，延长$DK$交$AB$于点$H$。

$\because DE = EB$，$CE = EK$，$\therefore$四边形$BCDK$是平行四边形，$\therefore CD = BK$，$DK // BC$。$\because BC ⊥ AB$，$\therefore DH ⊥ AB$。$\because DA = DB$，$\therefore AH = HB = \frac{1}{2}AB = 1$，$\therefore KA = KB = CD$。在$Rt △ AKH$中，$∠ BAC = 30°$，$AH = 1$，设$KH = x$，则$KA = 2x$，根据勾股定理得$(2x)^{2} - x^{2} = 1^{2}$，解得$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore CD = KA = \frac{2\sqrt{3}}{3}$。

11. 如图，在四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$，且 $AO = CO$，点 $E$ 在 $BD$ 上，且 $AE// CD$。
（1）求证：四边形 $AECD$ 是平行四边形。
（2）若 $AB = BC$，$CD = 10$，$AC = 16$，求四边形 $AECD$ 的面积。

11. 解：(1)证明：$\because AE // CD$，$\therefore ∠ EAO = ∠ DCO$。在$△ AOE$和$△ COD$中，$\begin{cases} ∠ EAO = ∠ DCO, \\ AO = CO, \\ ∠ EOA = ∠ DOC, \end{cases}$ $\therefore △ AOE ≌ △ COD(ASA)$，$\therefore OD = OE$。又$\because AO = CO$，$\therefore$四边形$AECD$是平行四边形。
(2)$\because AB = BC$，$AO = CO$，$\therefore OB ⊥ AC$。$\because AC = 16$，$\therefore CO = \frac{1}{2}AC = 8$。在$Rt △ COD$中，由勾股定理得，$OD = \sqrt{CD^{2} - CO^{2}} = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} = 6$，$\therefore$四边形$AECD$的面积为$2 × \frac{1}{2}AC × OD = 2 × \frac{1}{2} × 16 × 6 = 96$。