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5. (2023·太仓期末)如图，在平面直角坐标系中，点A在函数$y = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图像上，$AB \perp x$轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数$y = \frac{2}{x}(x ＞ 0)$的图像交于点D，连接AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于________.
答案
2
6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图像上，点D的坐标为(3,4).
(1)菱形ABCD的边长为________；
(2)求k的值；
(3)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图像上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.
(1)菱形ABCD的边长为________；
(2)求k的值；
(3)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数$y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0)$的图像上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.
答案
(1) 5
(2) 解：$\because$菱形$ABCD$的边长为$5$，
$\therefore OD = AD = 5$，$AD // OB$。
$\because D(3, 4)$，$\therefore$点$A$的坐标为$(3, 9)$，
代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = 27$。
(3) 解：将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移，使得点$D$落在函数$y = \frac{27}{x}(x ＞ 0)$的图像点$D'$处，则点$D'$的坐标为$(\frac{27}{4}, 4)$，$\frac{27}{4} - 3 = \frac{15}{4}$，
即菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移的距离为$\frac{15}{4}$。
(2) 解：$\because$菱形$ABCD$的边长为$5$，
$\therefore OD = AD = 5$，$AD // OB$。
$\because D(3, 4)$，$\therefore$点$A$的坐标为$(3, 9)$，
代入$y = \frac{k}{x}$，得$k = 27$。
(3) 解：将菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移，使得点$D$落在函数$y = \frac{27}{x}(x ＞ 0)$的图像点$D'$处，则点$D'$的坐标为$(\frac{27}{4}, 4)$，$\frac{27}{4} - 3 = \frac{15}{4}$，
即菱形$ABCD$沿$x$轴正方向平移的距离为$\frac{15}{4}$。
7. (2023·兴化开学)在平面直角坐标系xOy中，点A(m,0)，B(m - a,0)(a ＞ m ＞ 0)的位置和函数$y_1 = \frac{m}{x}(x ＞ 0)$，$y_2 = \frac{m - a}{x}(x ＜ 0)$的图像如图所示. 以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，AD边与函数$y_1$的图像相交于点E，CD边与函数$y_1$，$y_2$的图像分别相交于点G，H，一次函数$y_3$的图像经过点E，G，与y轴相交于点P，连接PH.
(1)若m = 2，a = 4，
①求函数$y_3$的表达式及△PGH的面积；
②直接写出使$y_1 ＞ y_3 ＞ 0$成立的x的范围；
(2)当a，m在满足a ＞ m ＞ 0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由.
(1)若m = 2，a = 4，
①求函数$y_3$的表达式及△PGH的面积；
②直接写出使$y_1 ＞ y_3 ＞ 0$成立的x的范围；
(2)当a，m在满足a ＞ m ＞ 0的条件下任意变化时，△PGH的面积是否变化？请说明理由.
答案
解：(1) ①$\because m = 2$，$a = 4$，
$\therefore$点$A(2, 0)$，$B(-2, 0)$，$y_1 = \frac{2}{x}$，$y_2 = -\frac{2}{x}$，
$\therefore$点$E(2, 1)$，$G(\frac{1}{2}, 4)$，$H(-\frac{1}{2}, 4)$。
$\because$一次函数$y_3$的图像经过点$E$，$G$，
$\therefore$设$y_3 = kx + b$，则$\begin{cases}2k + b = 1 \\ \frac{1}{2}k + b = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 5 \end{cases}$，
$\therefore$函数$y_3$的表达式为$y_3 = -2x + 5$，$\therefore P(0, 5)$。设$CD$与$y$轴的交点为$M$，
$PM = OP - OM = 1$，
$\therefore S_{\triangle PGH} = \frac{1}{2}HG \cdot PM = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$。
②当$y = 0$时，则$-2x + 5 = 0$，即$x = \frac{5}{2}$，
$\therefore$当$0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$或$2 ＜ x ＜ \frac{5}{2}$时，$y_1 ＞ y_3 ＞ 0$。
(2) $\triangle PGH$的面积不变化。理由如下：
$\because$点$A(m, 0)$，$B(m - a, 0)$，$y_1 = \frac{m}{x}$，$y_2 = \frac{m - a}{x}$，
$\therefore$点$E(m, 1)$，$G(\frac{m}{a}, a)$，$H(\frac{m - a}{a}, a)$。
设$y_3 = k_1x + b_1$，则$\begin{cases}k_1m + b_1 = 1 \\ k_1\frac{m}{a} + b_1 = a \end{cases}$，$\therefore b_1 = a + 1$，
$\therefore P(0, a + 1)$，
$\therefore PM = OP - OM = 1$，
$\therefore S_{\triangle PGH} = \frac{1}{2}HG \cdot PM = \frac{1}{2}(\frac{m}{a} - \frac{m - a}{a}) \times 1 = \frac{1}{2}$。
$\therefore$点$A(2, 0)$，$B(-2, 0)$，$y_1 = \frac{2}{x}$，$y_2 = -\frac{2}{x}$，
$\therefore$点$E(2, 1)$，$G(\frac{1}{2}, 4)$，$H(-\frac{1}{2}, 4)$。
$\because$一次函数$y_3$的图像经过点$E$，$G$，
$\therefore$设$y_3 = kx + b$，则$\begin{cases}2k + b = 1 \\ \frac{1}{2}k + b = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2 \\ b = 5 \end{cases}$，
$\therefore$函数$y_3$的表达式为$y_3 = -2x + 5$，$\therefore P(0, 5)$。设$CD$与$y$轴的交点为$M$，
$PM = OP - OM = 1$，
$\therefore S_{\triangle PGH} = \frac{1}{2}HG \cdot PM = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$。
②当$y = 0$时，则$-2x + 5 = 0$，即$x = \frac{5}{2}$，
$\therefore$当$0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$或$2 ＜ x ＜ \frac{5}{2}$时，$y_1 ＞ y_3 ＞ 0$。
(2) $\triangle PGH$的面积不变化。理由如下：
$\because$点$A(m, 0)$，$B(m - a, 0)$，$y_1 = \frac{m}{x}$，$y_2 = \frac{m - a}{x}$，
$\therefore$点$E(m, 1)$，$G(\frac{m}{a}, a)$，$H(\frac{m - a}{a}, a)$。
设$y_3 = k_1x + b_1$，则$\begin{cases}k_1m + b_1 = 1 \\ k_1\frac{m}{a} + b_1 = a \end{cases}$，$\therefore b_1 = a + 1$，
$\therefore P(0, a + 1)$，
$\therefore PM = OP - OM = 1$，
$\therefore S_{\triangle PGH} = \frac{1}{2}HG \cdot PM = \frac{1}{2}(\frac{m}{a} - \frac{m - a}{a}) \times 1 = \frac{1}{2}$。
