4. (2023·新吴区期中)如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB = AD，点E，F分别是AC，BD的中点，AC = 6. 则EF的长为__________
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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5. 如图，在△ABC中，AD是中线，AE是∠BAC的平分线，CF⊥AE于点F，AB = 10，AC = 6，求DF的长.
　

解：如答图，延长CF交AB于点G.

∵AE平分∠BAC，∴∠GAF=∠CAF.
∵CF⊥AE，
∴∠AFG=∠AFC=90°.
又∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG=AC，GF=CF.
又∵AD是△ABC的中线，∴D是BC的中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF=$\frac {1}{2}$BG=$\frac {1}{2}$(AB - AG)=$\frac {1}{2}$(AB - AC)=2.

6. 如图，在四边形ABCD中，AB = 6，CD = 8，∠BAC = 30°，∠ACD = 120°，E，F，M分别是AD，BC，AC的中点，求EF的长.
　　　

解：∵E，M分别是AD，AC的中点，
∴EM是△ADC的中位线，
∴EM=$\frac {1}{2}$CD=4，EM//CD，
∴∠EMC+∠ACD=180°.
∵∠ACD=120°，∴∠EMC=60°，
同理可得MF=$\frac {1}{2}$AB=3，MF//AB，
∴∠CMF=∠BAC=30°，∴∠EMF=90°，
∴EF=$\sqrt {EM^{2}+MF^{2}}=\sqrt {4^{2}+3^{2}}=5$.

7. 如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB，BC，CD，DA的中点分别为P，Q，M，N.
(1)试判断四边形PQMN的形状，并说明理由；
(2)求∠NMQ的度数.
　　

解：(1)四边形PQMN为菱形. 理由：
如答图，连接BD，AC，交于点O.
∵△ADE，△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB=120°.
在△AEC和△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l} AE=DE,\\ \angle AEC=\angle DEB,\\ EC=EB,\end{array}\right. $
∴△AEC≌△DEB(SAS)，
∴AC=BD.
∵M，N分别是CD，AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=$\frac {1}{2}$AC.
同理可得NP=$\frac {1}{2}$DB，QP=$\frac {1}{2}$AC，MQ=$\frac {1}{2}$BD.
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形PQMN是菱形.

(2)如答图，设MN交BD于点K，MQ交AC于点J，
∵MN//AC，MQ//BD，
∴四边形MKOJ是平行四边形，
∴∠NMQ=∠DOC.
∵由(1)知△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠COB=∠CEB=60°，
∴∠DOC=120°，∴∠NMQ=120°.