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10. 如图，一艘船向正北方向航行，在 $ A $ 处看到灯塔 $ S $ 在船的北偏东 $ 30° $ 的方向上，航行 $ 12 $ 海里到达 $ B $ 点，在 $ B $ 处看到灯塔 $ S $ 在船的北偏东 $ 60° $ 的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔 $ S $ 的最近距离是
6√3
海里(不作近似计算).答案
10. 6√3
解析
【解析】
过点$ S $作$ SC ⊥ AB $，交$ AB $的延长线于点$ C $，则$ SC $的长度即为船距灯塔$ S $的最近距离。
由题意得：$ ∠ SAB = 30° $，$ ∠ SBC = 60° $，
所以$ ∠ BSA = ∠ SBC - ∠ SAB = 60° - 30° = 30° $，
因此$ AB = BS = 12 $海里（等角对等边）。
在$ \mathrm{Rt}△ SBC $中，$ ∠ SCB = 90° $，$ ∠ SBC = 60° $，
则$ SC = BS · \sin60° = 12 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $海里。
【答案】
$ 6\sqrt{3} $
【知识点】
垂线段最短；等腰三角形判定；锐角三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数的定义是解题关键，通过作垂线构造直角三角形是此类问题常用的辅助线方法。
【难度系数】
0.6
过点$ S $作$ SC ⊥ AB $，交$ AB $的延长线于点$ C $，则$ SC $的长度即为船距灯塔$ S $的最近距离。
由题意得：$ ∠ SAB = 30° $，$ ∠ SBC = 60° $，
所以$ ∠ BSA = ∠ SBC - ∠ SAB = 60° - 30° = 30° $，
因此$ AB = BS = 12 $海里（等角对等边）。
在$ \mathrm{Rt}△ SBC $中，$ ∠ SCB = 90° $，$ ∠ SBC = 60° $，
则$ SC = BS · \sin60° = 12 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} $海里。
【答案】
$ 6\sqrt{3} $
【知识点】
垂线段最短；等腰三角形判定；锐角三角函数
【点评】
本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，熟练掌握等腰三角形的判定和锐角三角函数的定义是解题关键，通过作垂线构造直角三角形是此类问题常用的辅助线方法。
【难度系数】
0.6
11. 将一副三角板按如图所示摆放在一起，连结 $ DA $，则 $ \tan ∠ BDA $ 的值是
(√3 + 1) / 2
.答案
11. (√3 + 1) / 2
解析
【解析】
过点A作AE⊥BD于点E，设AB=1。
1. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，由三角函数定义得$BC=\frac{AB}{\tan30°}=\sqrt{3}$。
2. 因为△BCD是等腰直角三角形，BC为斜边，所以$BD=BC·\sin45°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，且$∠ DBC=45°$。
3. 由$∠ ABC=90°$，$∠ DBC=45°$，得$∠ ABE=45°$，在Rt△ABE中，$AE=AB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$BE=AB·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 计算$DE=BD-BE=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，在Rt△ADE中，$\tan∠ BDA=\frac{AE}{DE}$，代入值并分母有理化：
$\tan∠ BDA=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义、分母有理化、特殊角三角函数值
【点评】
本题借助三角板的组合，通过构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解，考查了学生的几何辅助线构造能力与运算能力。
【难度系数】
0.3
过点A作AE⊥BD于点E，设AB=1。
1. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，由三角函数定义得$BC=\frac{AB}{\tan30°}=\sqrt{3}$。
2. 因为△BCD是等腰直角三角形，BC为斜边，所以$BD=BC·\sin45°=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，且$∠ DBC=45°$。
3. 由$∠ ABC=90°$，$∠ DBC=45°$，得$∠ ABE=45°$，在Rt△ABE中，$AE=AB·\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$BE=AB·\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
4. 计算$DE=BD-BE=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$，在Rt△ADE中，$\tan∠ BDA=\frac{AE}{DE}$，代入值并分母有理化：
$\tan∠ BDA=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})}{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义、分母有理化、特殊角三角函数值
【点评】
本题借助三角板的组合，通过构造直角三角形，结合锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值求解，考查了学生的几何辅助线构造能力与运算能力。
【难度系数】
0.3
12. 如图，$ AB $ 是半圆的直径，弦 $ AD $，$ BC $ 相交于点 $ P $，已知 $ ∠ DPB = 60° $，$ D $ 是弧 $ BC $ 的中点，则 $ \tan ∠ ADC $ 等于(
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \sqrt{3} $
C
)A.$ \frac{1}{2} $
B.$ 2 $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \sqrt{3} $
答案
12. C
解析
【解析】
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠DPB=60°，在Rt△PBD中，∠PBD=90°-60°=30°。
∵D是弧BC的中点，
∴弧BD=弧DC，故∠DAB=∠DBC=30°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠DAB=60°，则∠ABC=∠ABD-∠DBC=30°。
又
∵∠ADC=∠ABC（同弧AC所对的圆周角相等），
∴tan∠ADC=tan30°=√3/3。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、锐角三角函数
【点评】
本题考查圆周角定理的应用与锐角三角函数的计算，需熟练运用圆周角的相关性质转化角的关系，进而求解三角函数值。
【难度系数】
0.6
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）。
∵∠DPB=60°，在Rt△PBD中，∠PBD=90°-60°=30°。
∵D是弧BC的中点，
∴弧BD=弧DC，故∠DAB=∠DBC=30°（同弧所对的圆周角相等）。
在Rt△ABD中，∠ABD=90°-∠DAB=60°，则∠ABC=∠ABD-∠DBC=30°。
又
∵∠ADC=∠ABC（同弧AC所对的圆周角相等），
∴tan∠ADC=tan30°=√3/3。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理、锐角三角函数
【点评】
本题考查圆周角定理的应用与锐角三角函数的计算，需熟练运用圆周角的相关性质转化角的关系，进而求解三角函数值。
【难度系数】
0.6
13. 在 $ △ ABC $ 中，已知 $ ∠ A = 60° $，$ ∠ B $ 为锐角，且 $ \tan A $，$ \cos B $ 恰为一元二次方程 $ 2x^{2} - 3mx + 3 = 0 $ 的两个实数根，求 $ m $ 的值并判断 $ △ ABC $ 的形状.
答案
13. m = √3,△ABC 是直角三角形
解析
【解析】
1. 计算$\tan A$：
已知$∠ A = 60°$，则$\tan A = \tan60° = \sqrt{3}$。
2. 代入方程求$m$：
因为$\tan A$是方程$2x^2 - 3mx + 3 = 0$的根，将$x = \sqrt{3}$代入方程得：
$2×(\sqrt{3})^2 - 3m×\sqrt{3} + 3 = 0$
化简得：$6 - 3\sqrt{3}m + 3 = 0$，解得$m = \sqrt{3}$。
3. 求解$\cos B$：
将$m = \sqrt{3}$代入原方程，得$2x^2 - 3\sqrt{3}x + 3 = 0$，
解此方程得$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$∠ B$为锐角，$0 ＜ \cos B ＜ 1$，故$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$∠ B = 30°$。
4. 判断三角形形状：
由三角形内角和定理，$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 30° = 90°$，所以$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$m = \sqrt{3}$，$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
特殊角的三角函数值，一元二次方程的根，三角形内角和定理
【点评】
本题综合运用特殊角的三角函数值、一元二次方程根的性质及三角形内角和定理求解，需结合锐角三角函数的取值范围确定$\cos B$的值，进而判断三角形形状，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
1. 计算$\tan A$：
已知$∠ A = 60°$，则$\tan A = \tan60° = \sqrt{3}$。
2. 代入方程求$m$：
因为$\tan A$是方程$2x^2 - 3mx + 3 = 0$的根，将$x = \sqrt{3}$代入方程得：
$2×(\sqrt{3})^2 - 3m×\sqrt{3} + 3 = 0$
化简得：$6 - 3\sqrt{3}m + 3 = 0$，解得$m = \sqrt{3}$。
3. 求解$\cos B$：
将$m = \sqrt{3}$代入原方程，得$2x^2 - 3\sqrt{3}x + 3 = 0$，
解此方程得$x_1 = \sqrt{3}$，$x_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$∠ B$为锐角，$0 ＜ \cos B ＜ 1$，故$\cos B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$∠ B = 30°$。
4. 判断三角形形状：
由三角形内角和定理，$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 60° - 30° = 90°$，所以$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$m = \sqrt{3}$，$△ ABC$是直角三角形
【知识点】
特殊角的三角函数值，一元二次方程的根，三角形内角和定理
【点评】
本题综合运用特殊角的三角函数值、一元二次方程根的性质及三角形内角和定理求解，需结合锐角三角函数的取值范围确定$\cos B$的值，进而判断三角形形状，考查知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
