12. 已知实数$a$，$b$在数轴上对应点的位置如图所示.

(1) 化简：$\sqrt{a^{2}} =$，$\sqrt{(1 - b)^{2}} =$.
(2) 化简：$\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}}$.

12.（1）根据数轴表示，得 $ a ＜ 0 $，$ 1 ＜ |a| ＜ 2 $，$ b ＞ 0 $，$ 0 ＜ |b| ＜ 1 $，$ \therefore \sqrt{a^{2}} = |a| = -a $，$ \sqrt{(1 - b)^{2}} = |1 - b| = 1 - b $，故答案为 $ -a $，$ 1 - b $ （2）由（1）得，$ a + 1 ＜ 0 $，$ a + b ＜ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ \sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}} = |a + 1| + |b| - |a + b| = -a - 1 + b + a + b = 2b - 1 $

【分析】
本题考查二次根式的化简与数轴的综合应用，核心是利用$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，先根据数轴判断各数的正负及式子的符号，再去绝对值进行化简。
1. 对于第(1)问：先观察数轴，确定$a＜0$，$0＜b＜1$，由此判断$a$和$1-b$的符号，再根据$\sqrt{x^2}=|x|$，结合绝对值的性质化简；
2. 对于第(2)问：先根据数轴确定$a+1$、$b$、$a+b$的符号：$a$在$-2$到$-1$之间，故$a+1＜0$；$b$在$0$到$1$之间，故$b＞0$；$a$的绝对值大于$b$的绝对值，故$a+b＜0$。再将每个二次根式转化为绝对值形式，去绝对值后合并同类项即可。
【解析】
(1) 由数轴可知：$a＜0$，$0＜b＜1$，
根据$\sqrt{x^2}=|x|$的性质：
$\sqrt{a^2}=|a|=-a$（负数的绝对值是它的相反数）；
因为$1-b＞0$，所以$\sqrt{(1-b)^2}=|1-b|=1-b$（正数的绝对值是它本身）。
(2) 由数轴可得：$-2＜a＜-1$，$0＜b＜1$，
因此可判断：
$a+1＜0$，$b＞0$，$a+b＜0$（$a$的绝对值大于$b$的绝对值，异号两数相加取绝对值大的符号），
根据$\sqrt{x^2}=|x|$对原式化简：
$\sqrt{(a + 1)^{2}} + \sqrt{b^{2}} - \sqrt{(a + b)^{2}}$
$=|a+1|+|b|-|a+b|$
$=-(a+1)+b-(-(a+b))$
$=-a-1+b+a+b$
$=2b-1$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-a}$，$\boldsymbol{1-b}$；
(2) $\boldsymbol{2b-1}$
【知识点】
二次根式的化简，绝对值的性质，数轴的应用
【点评】
本题关键是结合数轴准确判断各数及代数式的符号，熟练掌握$\sqrt{x^2}=|x|$的性质，以及绝对值的去括号法则，注意去绝对值时符号的变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.6

13. 求证：当$a ＜ b ＜ 0$时，$\sqrt{a^{2}} ＞ \sqrt{b^{2}}$.

13. $ \sqrt{a^{2}} = |a| $，$ \sqrt{b^{2}} = |b| $，当 $ a ＜ b ＜ 0 $ 时，$ |a| ＞ |b| $，$ \therefore \sqrt{a^{2}} ＞ \sqrt{b^{2}} $

【分析】
要证明当$a ＜ b ＜ 0$时$\sqrt{a^{2}} ＞ \sqrt{b^{2}}$，首先需利用二次根式的性质将根式转化为绝对值形式，因为$\sqrt{x^2}=|x|$是二次根式的核心性质。接着结合已知条件$a ＜ b ＜ 0$，回忆负数的绝对值特点：负数的绝对值是它的相反数，且负数比较大小的规则是数值越小（更靠近负无穷），绝对值越大，由此可推出$|a|＞|b|$，进而得到要证的结论。
【解析】
证明：
根据二次根式的性质，可得
$\sqrt{a^{2}} = |a|$，$\sqrt{b^{2}} = |b|$。
因为$a ＜ b ＜ 0$，对于两个负数，数值越小其绝对值越大，所以$|a| ＞ |b|$。
因此，$\sqrt{a^{2}} ＞ \sqrt{b^{2}}$，原不等式得证。
【答案】
当$a ＜ b ＜ 0$时，$\sqrt{a^{2}} ＞ \sqrt{b^{2}}$得证。
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的性质
3. 负数比较大小
【点评】
本题属于基础证明题，主要考查二次根式性质、绝对值性质及负数比较大小规则的综合应用，解题关键是准确将二次根式转化为绝对值形式，再结合已知条件分析绝对值的大小关系。
【难度系数】
0.8

14. 先阅读材料，再解决问题：
化简：$(\sqrt{1 - 3x})^{2} - |1 - x|$.
解：由隐含条件，$1 - 3x ≥ 0$，得$x ≤ \dfrac{1}{3}$，所以$1 - x ＞ 0$.
所以原式$=(1 - 3x) - (1 - x) = 1 - 3x - 1 + x = -2x$.
仿照上面的过程，化简$\sqrt{(x - 3)^{2}} - (\sqrt{2 - x})^{2}$.

14. 根据 $ 2 - x ≥ 0 $，得 $ x ≤ 2 $，$ \therefore x - 3 ≤ 0 $。原式 $ = 3 - x - (2 - x) = 1 $

【分析】
要化简式子，需先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围。观察式子中的$(\sqrt{2 - x})^{2}$，二次根式被开方数必须非负，可得$2 - x ≥ 0$，从而推出$x ≤ 2$，进一步可知$x - 3 ≤ 0$。接下来利用二次根式的性质，$\sqrt{(x - 3)^{2}}$可转化为$|x - 3|$，再根据x的范围去掉绝对值符号，同时$(\sqrt{2 - x})^{2}$可直接化简为$2 - x$，最后将化简后的两项相减计算即可。
【解析】
由隐含条件，$2 - x ≥ 0$，得$x ≤ 2$，所以$x - 3 ≤ 0$。
则$\sqrt{(x - 3)^{2}} = |x - 3| = 3 - x$，$(\sqrt{2 - x})^{2} = 2 - x$。
所以原式$=(3 - x) - (2 - x) = 3 - x - 2 + x = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的化简
【点评】
本题重点考查二次根式与绝对值的化简，核心是先根据二次根式有意义的条件确定字母的取值范围，再利用相关性质去掉根号和绝对值符号，避免符号错误。解题时可参照例题思路，先找隐含条件再逐步化简。
【难度系数】
0.6