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3. 写出下列命题的逆命题，并判断每对互逆命题的真假.
(1) 如果 $ a ＞ b $，那么 $ |a| ＞ |b| $；
(2) 如果 $ a = b $，那么 $ a^{2} = b^{2} $.
(1) 如果 $ a ＞ b $，那么 $ |a| ＞ |b| $；
(2) 如果 $ a = b $，那么 $ a^{2} = b^{2} $.
答案
(1)逆命题：如果$|a| ＞ |b|$，那么$a ＞ b$。
原命题为假命题，例如，当$a = 1$，$b = - 2$时，$a＞b$不成立（$|a| ＜ |b|$的逆情况但原命题条件满足时结论不成立）；
逆命题为假命题，例如，当$a = - 2$，$b = 1$时，$|a|＞|b|$成立，但$a ＞ b$不成立。
(2)逆命题：如果$a^{2} = b^{2}$，那么$a = b$。
原命题为真命题，根据等式的性质，若$a = b$，则$a^{2} = b^{2}$一定成立。
逆命题为假命题，例如，当$a = 2$，$b = - 2$时，$a^{2}=b^{2} = 4$，但$a≠ b$。
原命题为假命题，例如，当$a = 1$，$b = - 2$时，$a＞b$不成立（$|a| ＜ |b|$的逆情况但原命题条件满足时结论不成立）；
逆命题为假命题，例如，当$a = - 2$，$b = 1$时，$|a|＞|b|$成立，但$a ＞ b$不成立。
(2)逆命题：如果$a^{2} = b^{2}$，那么$a = b$。
原命题为真命题，根据等式的性质，若$a = b$，则$a^{2} = b^{2}$一定成立。
逆命题为假命题，例如，当$a = 2$，$b = - 2$时，$a^{2}=b^{2} = 4$，但$a≠ b$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换位置，即可得到它的逆命题。判断命题真假时，真命题要保证条件成立时结论一定成立；假命题只需举出一个反例，说明条件成立但结论不成立即可。
对于(1)，原命题条件是“$a＞b$”，结论是“$|a|＞|b|$”，互换后得到逆命题；通过举反例，如$a=1$，$b=-2$，可判断原命题为假；举$a=-2$，$b=1$，可判断逆命题为假。
对于(2)，原命题条件是“$a=b$”，结论是“$a^2=b^2$”，互换后得到逆命题；根据等式性质可判断原命题为真，举$a=2$，$b=-2$的例子可判断逆命题为假。
【解析】
(1) 逆命题：如果$|a| ＞ |b|$，那么$a ＞ b$。
原命题为假命题，例如：当$a = 1$，$b = -2$时，$a＞b$，但$|a|=1$，$|b|=2$，$|a|＜|b|$，说明原命题条件成立时结论不成立，故原命题是假命题；
逆命题为假命题，例如：当$a = -2$，$b = 1$时，$|a|=2＞|b|=1$，但$a=-2＜b=1$，说明逆命题条件成立时结论不成立，故逆命题是假命题。
(2) 逆命题：如果$a^{2} = b^{2}$，那么$a = b$。
原命题为真命题，根据等式的基本性质，等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立，所以若$a = b$，则$a^2 = a· a = b· b = b^2$，故原命题是真命题；
逆命题为假命题，例如：当$a = 2$，$b = -2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，即$a^2=b^2$，但$a≠b$，说明逆命题条件成立时结论不成立，故逆命题是假命题。
【答案】
(1) 逆命题：如果$|a| ＞ |b|$，那么$a ＞ b$；原命题为假命题，逆命题为假命题。
(2) 逆命题：如果$a^{2} = b^{2}$，那么$a = b$；原命题为真命题，逆命题为假命题。
【知识点】
逆命题的定义、命题真假判断、等式的基本性质
【点评】
本题主要考查逆命题的构造与命题真假的判断，核心是掌握逆命题的构造方法，即互换原命题的条件和结论；判断真假时，假命题可通过举反例证明，真命题可依据相关性质推导，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确逆命题的定义：将原命题的条件和结论互换位置，即可得到它的逆命题。判断命题真假时，真命题要保证条件成立时结论一定成立；假命题只需举出一个反例，说明条件成立但结论不成立即可。
对于(1)，原命题条件是“$a＞b$”，结论是“$|a|＞|b|$”，互换后得到逆命题；通过举反例，如$a=1$，$b=-2$，可判断原命题为假；举$a=-2$，$b=1$，可判断逆命题为假。
对于(2)，原命题条件是“$a=b$”，结论是“$a^2=b^2$”，互换后得到逆命题；根据等式性质可判断原命题为真，举$a=2$，$b=-2$的例子可判断逆命题为假。
【解析】
(1) 逆命题：如果$|a| ＞ |b|$，那么$a ＞ b$。
原命题为假命题，例如：当$a = 1$，$b = -2$时，$a＞b$，但$|a|=1$，$|b|=2$，$|a|＜|b|$，说明原命题条件成立时结论不成立，故原命题是假命题；
逆命题为假命题，例如：当$a = -2$，$b = 1$时，$|a|=2＞|b|=1$，但$a=-2＜b=1$，说明逆命题条件成立时结论不成立，故逆命题是假命题。
(2) 逆命题：如果$a^{2} = b^{2}$，那么$a = b$。
原命题为真命题，根据等式的基本性质，等式两边同时乘同一个数（或式子），等式仍然成立，所以若$a = b$，则$a^2 = a· a = b· b = b^2$，故原命题是真命题；
逆命题为假命题，例如：当$a = 2$，$b = -2$时，$a^2=4$，$b^2=4$，即$a^2=b^2$，但$a≠b$，说明逆命题条件成立时结论不成立，故逆命题是假命题。
【答案】
(1) 逆命题：如果$|a| ＞ |b|$，那么$a ＞ b$；原命题为假命题，逆命题为假命题。
(2) 逆命题：如果$a^{2} = b^{2}$，那么$a = b$；原命题为真命题，逆命题为假命题。
【知识点】
逆命题的定义、命题真假判断、等式的基本性质
【点评】
本题主要考查逆命题的构造与命题真假的判断，核心是掌握逆命题的构造方法，即互换原命题的条件和结论；判断真假时，假命题可通过举反例证明，真命题可依据相关性质推导，有助于提升逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
4. 举反例说明下列命题是假命题：
(1) 如果 $ a ＞ b $，那么 $ ac ＞ bc $；
(2) 如果 $ a^{2} = b^{2} $，那么 $ a^{3} = b^{3} $；
(3) 锐角小于它的余角；
(4) 同位角相等.
(1) 如果 $ a ＞ b $，那么 $ ac ＞ bc $；
(2) 如果 $ a^{2} = b^{2} $，那么 $ a^{3} = b^{3} $；
(3) 锐角小于它的余角；
(4) 同位角相等.
答案
(1) 当 $ c = 0 $ 时，若 $ a = 2 $，$ b = 1 $，则 $ a ＞ b $，但 $ ac = 0 $，$ bc = 0 $，此时 $ ac = bc $，所以该命题是假命题。
(2) 当 $ a = 2 $，$ b = -2 $ 时，$ a^2 = 4 $，$ b^2 = 4 $，满足 $ a^2 = b^2 $，但 $ a^3 = 8 $，$ b^3 = -8 $，$ a^3 ≠ b^3 $，所以该命题是假命题。
(3) 当锐角为 $ 60° $ 时，其余角为 $ 30° $，$ 60° ＞ 30° $，所以该命题是假命题。
(4) 当两条直线不平行时，被第三条直线所截形成的同位角不相等，例如：直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 相交，直线 $ l_3 $ 截 $ l_1 $，$ l_2 $ 所得的同位角不相等，所以该命题是假命题。
(2) 当 $ a = 2 $，$ b = -2 $ 时，$ a^2 = 4 $，$ b^2 = 4 $，满足 $ a^2 = b^2 $，但 $ a^3 = 8 $，$ b^3 = -8 $，$ a^3 ≠ b^3 $，所以该命题是假命题。
(3) 当锐角为 $ 60° $ 时，其余角为 $ 30° $，$ 60° ＞ 30° $，所以该命题是假命题。
(4) 当两条直线不平行时，被第三条直线所截形成的同位角不相等，例如：直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 相交，直线 $ l_3 $ 截 $ l_1 $，$ l_2 $ 所得的同位角不相等，所以该命题是假命题。
解析
【分析】
要证明一个命题是假命题，只需找到满足命题题设，但不满足命题结论的例子（即反例）。针对每个命题的题设和结论，我们可以这样思考找反例的方向：
1. 对于“如果$a＞b$，那么$ac＞bc$”，题设是$a＞b$，结论是$ac＞bc$，可考虑$c$取特殊值（如0或负数），此时结论不成立；
2. 对于“如果$a^2 = b^2$，那么$a^3 = b^3$”，题设是$a^2 = b^2$，此时$a$和$b$可能相等或互为相反数，当$a$、$b$互为相反数时，它们的立方不相等，可据此找反例；
3. 对于“锐角小于它的余角”，余角是$90°$减去该锐角，当锐角大于$45°$时，它的余角小于这个锐角，可选取这样的锐角作为反例；
4. 对于“同位角相等”，同位角相等的前提是两直线平行，当两直线不平行时，同位角不相等，据此构造反例。
【解析】
(1) 当$c = 0$时，取$a = 2$，$b = 1$，此时$a＞b$，但$ac = 2×0 = 0$，$bc = 1×0 = 0$，即$ac = bc$，不满足$ac＞bc$，所以该命题是假命题。
(2) 取$a = 2$，$b = -2$，此时$a^2 = 2^2 = 4$，$b^2 = (-2)^2 = 4$，满足$a^2 = b^2$，但$a^3 = 2^3 = 8$，$b^3 = (-2)^3 = -8$，即$a^3 ≠ b^3$，不满足结论，所以该命题是假命题。
(3) 取锐角为$60°$，它的余角为$90° - 60° = 30°$，而$60°＞30°$，不满足“锐角小于它的余角”，所以该命题是假命题。
(4) 取两条相交直线$l_1$和$l_2$，用第三条直线$l_3$去截这两条直线，此时形成的同位角不相等，不满足“同位角相等”，所以该命题是假命题。
【答案】
(1) 反例：当$c = 0$，$a = 2$，$b = 1$时，$a＞b$，但$ac = bc$，命题为假；
(2) 反例：当$a = 2$，$b = -2$时，$a^2 = b^2$，但$a^3 ≠ b^3$，命题为假；
(3) 反例：锐角为$60°$时，它的余角为$30°$，$60°＞30°$，命题为假；
(4) 反例：两条相交直线被第三条直线所截，形成的同位角不相等，命题为假。
【知识点】
命题真假判定，余角的定义，同位角的性质
【点评】
举反例是判断假命题的有效方法，找反例时需紧扣命题的题设和结论，针对不同命题的易错点选取特殊值或特殊情况：如不等式性质中要注意系数的取值，平方相等的数可能互为相反数，余角的计算要明确锐角与余角的关系，同位角相等的前提是两直线平行。通过这些反例，能帮助我们更清晰地理解命题成立的条件。
【难度系数】
0.7
要证明一个命题是假命题，只需找到满足命题题设，但不满足命题结论的例子（即反例）。针对每个命题的题设和结论，我们可以这样思考找反例的方向：
1. 对于“如果$a＞b$，那么$ac＞bc$”，题设是$a＞b$，结论是$ac＞bc$，可考虑$c$取特殊值（如0或负数），此时结论不成立；
2. 对于“如果$a^2 = b^2$，那么$a^3 = b^3$”，题设是$a^2 = b^2$，此时$a$和$b$可能相等或互为相反数，当$a$、$b$互为相反数时，它们的立方不相等，可据此找反例；
3. 对于“锐角小于它的余角”，余角是$90°$减去该锐角，当锐角大于$45°$时，它的余角小于这个锐角，可选取这样的锐角作为反例；
4. 对于“同位角相等”，同位角相等的前提是两直线平行，当两直线不平行时，同位角不相等，据此构造反例。
【解析】
(1) 当$c = 0$时，取$a = 2$，$b = 1$，此时$a＞b$，但$ac = 2×0 = 0$，$bc = 1×0 = 0$，即$ac = bc$，不满足$ac＞bc$，所以该命题是假命题。
(2) 取$a = 2$，$b = -2$，此时$a^2 = 2^2 = 4$，$b^2 = (-2)^2 = 4$，满足$a^2 = b^2$，但$a^3 = 2^3 = 8$，$b^3 = (-2)^3 = -8$，即$a^3 ≠ b^3$，不满足结论，所以该命题是假命题。
(3) 取锐角为$60°$，它的余角为$90° - 60° = 30°$，而$60°＞30°$，不满足“锐角小于它的余角”，所以该命题是假命题。
(4) 取两条相交直线$l_1$和$l_2$，用第三条直线$l_3$去截这两条直线，此时形成的同位角不相等，不满足“同位角相等”，所以该命题是假命题。
【答案】
(1) 反例：当$c = 0$，$a = 2$，$b = 1$时，$a＞b$，但$ac = bc$，命题为假；
(2) 反例：当$a = 2$，$b = -2$时，$a^2 = b^2$，但$a^3 ≠ b^3$，命题为假；
(3) 反例：锐角为$60°$时，它的余角为$30°$，$60°＞30°$，命题为假；
(4) 反例：两条相交直线被第三条直线所截，形成的同位角不相等，命题为假。
【知识点】
命题真假判定，余角的定义，同位角的性质
【点评】
举反例是判断假命题的有效方法，找反例时需紧扣命题的题设和结论，针对不同命题的易错点选取特殊值或特殊情况：如不等式性质中要注意系数的取值，平方相等的数可能互为相反数，余角的计算要明确锐角与余角的关系，同位角相等的前提是两直线平行。通过这些反例，能帮助我们更清晰地理解命题成立的条件。
【难度系数】
0.7
5. 命题：如果 $ a $ 是不等于 0 的数，那么 $ (a + 1)^{2} $ 一定大于 $ a^{2} $.
(1) 判断这个命题的真假；
(2) 仿照题中命题，写一个关于 $ (a - 1)^{2} $ 与 $ a^{2} $ 大小关系的真命题.
(1) 判断这个命题的真假；
(2) 仿照题中命题，写一个关于 $ (a - 1)^{2} $ 与 $ a^{2} $ 大小关系的真命题.
答案
(1) 假命题。
(2) 如果 $ a $ 是小于 $ 0.5 $ 的数，那么 $ (a - 1)^2 $ 一定大于 $ a^2 $。
(2) 如果 $ a $ 是小于 $ 0.5 $ 的数，那么 $ (a - 1)^2 $ 一定大于 $ a^2 $。
解析
【分析】
(1) 判断命题真假可通过作差法比较$(a + 1)^2$与$a^2$的大小，或寻找反例。先计算$(a + 1)^2 - a^2 = 2a + 1$，当$2a + 1 ≤ 0$即$a ≤ -0.5$时，$(a + 1)^2 ≤ a^2$，比如取$a = -1$，此时$(a + 1)^2 = 0$，$a^2 = 1$，$0 ＜ 1$，说明原命题不成立，是假命题。
(2) 要构造关于$(a - 1)^2$与$a^2$大小关系的真命题，先作差$(a - 1)^2 - a^2 = -2a + 1$，令差值大于0，解不等式得$a ＜ 0.5$，据此设定条件即可写出真命题。
【解析】
(1) 作差比较：
$(a + 1)^2 - a^2 = a^2 + 2a + 1 - a^2 = 2a + 1$，
当$a ≤ -0.5$时，$2a + 1 ≤ 0$，即$(a + 1)^2 ≤ a^2$。
例如取$a = -1$（$a ≠ 0$），$(-1 + 1)^2 = 0$，$(-1)^2 = 1$，$0 ＜ 1$，所以原命题是假命题。
(2) 作差比较$(a - 1)^2$与$a^2$：
$(a - 1)^2 - a^2 = a^2 - 2a + 1 - a^2 = -2a + 1$，
令$-2a + 1 ＞ 0$，解得$a ＜ 0.5$，
因此可写出真命题：如果$a$是小于$0.5$的数，那么$(a - 1)^2$一定大于$a^2$。
【答案】
(1) 假命题；
(2) 如果$a$是小于$0.5$的数，那么$(a - 1)^2$一定大于$a^2$。
【知识点】
命题真假判断、作差法比较大小、不等式求解
【点评】
本题考查命题真假的判断及真命题的构造，通过作差法将整式大小比较转化为不等式问题，需要结合字母的取值范围分析，培养了分类讨论思想和逻辑推理能力，帮助理解命题的条件与结论之间的关系。
【难度系数】
0.7
(1) 判断命题真假可通过作差法比较$(a + 1)^2$与$a^2$的大小，或寻找反例。先计算$(a + 1)^2 - a^2 = 2a + 1$，当$2a + 1 ≤ 0$即$a ≤ -0.5$时，$(a + 1)^2 ≤ a^2$，比如取$a = -1$，此时$(a + 1)^2 = 0$，$a^2 = 1$，$0 ＜ 1$，说明原命题不成立，是假命题。
(2) 要构造关于$(a - 1)^2$与$a^2$大小关系的真命题，先作差$(a - 1)^2 - a^2 = -2a + 1$，令差值大于0，解不等式得$a ＜ 0.5$，据此设定条件即可写出真命题。
【解析】
(1) 作差比较：
$(a + 1)^2 - a^2 = a^2 + 2a + 1 - a^2 = 2a + 1$，
当$a ≤ -0.5$时，$2a + 1 ≤ 0$，即$(a + 1)^2 ≤ a^2$。
例如取$a = -1$（$a ≠ 0$），$(-1 + 1)^2 = 0$，$(-1)^2 = 1$，$0 ＜ 1$，所以原命题是假命题。
(2) 作差比较$(a - 1)^2$与$a^2$：
$(a - 1)^2 - a^2 = a^2 - 2a + 1 - a^2 = -2a + 1$，
令$-2a + 1 ＞ 0$，解得$a ＜ 0.5$，
因此可写出真命题：如果$a$是小于$0.5$的数，那么$(a - 1)^2$一定大于$a^2$。
【答案】
(1) 假命题；
(2) 如果$a$是小于$0.5$的数，那么$(a - 1)^2$一定大于$a^2$。
【知识点】
命题真假判断、作差法比较大小、不等式求解
【点评】
本题考查命题真假的判断及真命题的构造，通过作差法将整式大小比较转化为不等式问题，需要结合字母的取值范围分析，培养了分类讨论思想和逻辑推理能力，帮助理解命题的条件与结论之间的关系。
【难度系数】
0.7
6. 判断命题“对于所有的正整数 $ n $，代数式 $ n^{2} - n + 11 $ 的值是质数”的真假，并说明理由.
答案
命题是假命题。
理由：
当$n = 11$时，代入代数式$n^{2} - n + 11$，得到：
$n^{2} - n + 11 = 11^{2} - 11 + 11 = 121$
由于$121 = 11 × 11$，根据合数的定义，$121$是合数，不是质数。
因此，找到了一个正整数$n = 11$，使得代数式$n^{2} - n + 11$的值不是质数，所以原命题是假命题。
理由：
当$n = 11$时，代入代数式$n^{2} - n + 11$，得到：
$n^{2} - n + 11 = 11^{2} - 11 + 11 = 121$
由于$121 = 11 × 11$，根据合数的定义，$121$是合数，不是质数。
因此，找到了一个正整数$n = 11$，使得代数式$n^{2} - n + 11$的值不是质数，所以原命题是假命题。
解析
【分析】
要判断这个全称命题的真假，根据全称命题的判断逻辑，只要找到一个正整数$n$，使得代数式$n^{2}-n+11$的值不是质数，就能证明该命题为假命题。首先明确质数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。我们可以尝试代入不同的正整数$n$验证，当$n$取11时，可计算出代数式的值为121，而121是11的平方，属于合数，由此可推翻原命题。
【解析】
该命题是假命题，理由如下：
当$n = 11$时，将其代入代数式$n^{2}-n+11$：
$n^{2}-n+11=11^{2}-11+11=121$
因为$121=11×11$，根据合数的定义（除了1和自身外还有其他因数的正整数），121是合数，并非质数。
由于存在正整数$n=11$，使得代数式$n^{2}-n+11$的值不是质数，所以原命题是假命题。
【答案】
假命题，理由：当$n=11$时，$n^{2}-n+11=121$，121是合数，故存在正整数$n$使代数式的值不是质数，原命题为假命题。
【知识点】
1. 质数与合数定义
2. 全称命题真假判断
【点评】
本题考查全称命题的真假判断及质数、合数的概念，解决全称命题真假问题的关键是寻找反例，通过代入具体正整数验证代数式的值，结合质数、合数的定义即可完成判断，需准确掌握相关数论概念。
【难度系数】
0.3
要判断这个全称命题的真假，根据全称命题的判断逻辑，只要找到一个正整数$n$，使得代数式$n^{2}-n+11$的值不是质数，就能证明该命题为假命题。首先明确质数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。我们可以尝试代入不同的正整数$n$验证，当$n$取11时，可计算出代数式的值为121，而121是11的平方，属于合数，由此可推翻原命题。
【解析】
该命题是假命题，理由如下：
当$n = 11$时，将其代入代数式$n^{2}-n+11$：
$n^{2}-n+11=11^{2}-11+11=121$
因为$121=11×11$，根据合数的定义（除了1和自身外还有其他因数的正整数），121是合数，并非质数。
由于存在正整数$n=11$，使得代数式$n^{2}-n+11$的值不是质数，所以原命题是假命题。
【答案】
假命题，理由：当$n=11$时，$n^{2}-n+11=121$，121是合数，故存在正整数$n$使代数式的值不是质数，原命题为假命题。
【知识点】
1. 质数与合数定义
2. 全称命题真假判断
【点评】
本题考查全称命题的真假判断及质数、合数的概念，解决全称命题真假问题的关键是寻找反例，通过代入具体正整数验证代数式的值，结合质数、合数的定义即可完成判断，需准确掌握相关数论概念。
【难度系数】
0.3
