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4. 计算：
(1) $-(2ab)^{3}+3ab·a^{2}b^{2}$；
(2) $(x^{2}y^{3})^{4}+(-x)^{8}·(y^{6})^{2}$；
(3) $(-3a^{2})^{3}·a^{3}+(-4a)^{2}·a^{7}-(5a^{3})^{3}$；
(4) $(ab^{2})^{3}-(ab)^{3}·b^{3}$.
(1) $-(2ab)^{3}+3ab·a^{2}b^{2}$；
(2) $(x^{2}y^{3})^{4}+(-x)^{8}·(y^{6})^{2}$；
(3) $(-3a^{2})^{3}·a^{3}+(-4a)^{2}·a^{7}-(5a^{3})^{3}$；
(4) $(ab^{2})^{3}-(ab)^{3}·b^{3}$.
答案
(1) 原式$=-(2^3a^3b^3)+3a^{1+2}b^{1+2}=-8a^3b^3+3a^3b^3=-5a^3b^3$
(2) 原式$=(x^2)^4(y^3)^4+(-x)^8(y^6)^2=x^8y^{12}+x^8y^{12}=2x^8y^{12}$
(3) 原式$=(-3)^3(a^2)^3· a^3+(-4)^2a^2· a^7-5^3(a^3)^3=-27a^6· a^3+16a^9-125a^9=-27a^9+16a^9-125a^9=-136a^9$
(4) 原式$=a^3(b^2)^3-(a^3b^3)· b^3=a^3b^6-a^3b^6=0$
(2) 原式$=(x^2)^4(y^3)^4+(-x)^8(y^6)^2=x^8y^{12}+x^8y^{12}=2x^8y^{12}$
(3) 原式$=(-3)^3(a^2)^3· a^3+(-4)^2a^2· a^7-5^3(a^3)^3=-27a^6· a^3+16a^9-125a^9=-27a^9+16a^9-125a^9=-136a^9$
(4) 原式$=a^3(b^2)^3-(a^3b^3)· b^3=a^3b^6-a^3b^6=0$
解析
【分析】
这四道小题均考查幂的运算法则与合并同类项的综合应用，解题思路一致：
1. 先根据积的乘方、幂的乘方法则对式子中的乘方项进行化简，积的乘方需将每个因式分别乘方，幂的乘方则底数不变、指数相乘；
2. 再根据同底数幂的乘法法则计算乘法项，即底数不变、指数相加；
3. 最后识别同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，完成合并。
需注意符号的处理，比如负数的偶次幂为正、奇次幂为负，避免符号错误。
【解析】
(1) 原式$=-(2^3a^3b^3)+3a^{1+2}b^{1+2}$
$=-8a^3b^3+3a^3b^3$
$=-5a^3b^3$
(2) 原式$=(x^2)^4(y^3)^4+(-x)^8(y^6)^2$
$=x^8y^{12}+x^8y^{12}$
$=2x^8y^{12}$
(3) 原式$=(-3)^3(a^2)^3·a^3+(-4)^2a^2·a^7-5^3(a^3)^3$
$=-27a^6·a^3+16a^9-125a^9$
$=-27a^9+16a^9-125a^9$
$=-136a^9$
(4) 原式$=a^3(b^2)^3-(a^3b^3)·b^3$
$=a^3b^6-a^3b^6$
$=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5a^3b^3}$；(2) $\boldsymbol{2x^8y^{12}}$；(3) $\boldsymbol{-136a^9}$；(4) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项
【点评】
本题是幂的运算法则的基础综合题，涵盖积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项，解题时需严格遵循运算顺序，注意符号的判断与同类项的准确识别，熟练掌握各类幂的运算法则是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.7
这四道小题均考查幂的运算法则与合并同类项的综合应用，解题思路一致：
1. 先根据积的乘方、幂的乘方法则对式子中的乘方项进行化简，积的乘方需将每个因式分别乘方，幂的乘方则底数不变、指数相乘；
2. 再根据同底数幂的乘法法则计算乘法项，即底数不变、指数相加；
3. 最后识别同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，完成合并。
需注意符号的处理，比如负数的偶次幂为正、奇次幂为负，避免符号错误。
【解析】
(1) 原式$=-(2^3a^3b^3)+3a^{1+2}b^{1+2}$
$=-8a^3b^3+3a^3b^3$
$=-5a^3b^3$
(2) 原式$=(x^2)^4(y^3)^4+(-x)^8(y^6)^2$
$=x^8y^{12}+x^8y^{12}$
$=2x^8y^{12}$
(3) 原式$=(-3)^3(a^2)^3·a^3+(-4)^2a^2·a^7-5^3(a^3)^3$
$=-27a^6·a^3+16a^9-125a^9$
$=-27a^9+16a^9-125a^9$
$=-136a^9$
(4) 原式$=a^3(b^2)^3-(a^3b^3)·b^3$
$=a^3b^6-a^3b^6$
$=0$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5a^3b^3}$；(2) $\boldsymbol{2x^8y^{12}}$；(3) $\boldsymbol{-136a^9}$；(4) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
积的乘方运算、幂的乘方运算、合并同类项
【点评】
本题是幂的运算法则的基础综合题，涵盖积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法及合并同类项，解题时需严格遵循运算顺序，注意符号的判断与同类项的准确识别，熟练掌握各类幂的运算法则是快速准确解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 用简便方法计算：
(1) $3^{14}×(-\frac{1}{9})^{7}$；
(2) $(0.125)^{5}×2^{18}$.
(1) $3^{14}×(-\frac{1}{9})^{7}$；
(2) $(0.125)^{5}×2^{18}$.
答案
(1) 原式$=3^{14}×[-( \frac{1}{9})^{7}]=-3^{14}×(3^{-2})^{7}=-3^{14}×3^{-14}=-3^{0}=-1$
(2) 原式$=( \frac{1}{8})^{5}×2^{18}=(2^{-3})^{5}×2^{18}=2^{-15}×2^{18}=2^{3}=8$
(2) 原式$=( \frac{1}{8})^{5}×2^{18}=(2^{-3})^{5}×2^{18}=2^{-15}×2^{18}=2^{3}=8$
解析
【分析】
这两道题均考查幂的运算的简便计算，解题核心是将不同底数转化为相同底数，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算。
(1) 观察到9是3的平方，先将$(-\frac{1}{9})^7$转化为以3为底数的幂，同时注意符号处理，再利用幂的乘方法则化简，最后结合同底数幂的乘法法则计算。
(2) 先将0.125转化为$\frac{1}{8}$，而$\frac{1}{8}$是2的负3次幂，将原式统一为以2为底数的幂的运算，再依次运用幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算。
【解析】
(1) 原式$=3^{14}×[-( \frac{1}{9})^{7}]$
$=-3^{14}×(3^{-2})^{7}$
$=-3^{14}×3^{-14}$
$=-3^{14+(-14)}$
$=-3^{0}$
$=-1$
(2) 原式$=( \frac{1}{8})^{5}×2^{18}$
$=(2^{-3})^{5}×2^{18}$
$=2^{-15}×2^{18}$
$=2^{-15+18}$
$=2^{3}$
$=8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、负整数指数幂
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题关键是通过底数的转化，将异底数幂运算转化为同底数幂运算，从而简化计算过程，需要学生熟练掌握幂的相关运算法则及负整数指数幂的意义。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查幂的运算的简便计算，解题核心是将不同底数转化为相同底数，再利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算。
(1) 观察到9是3的平方，先将$(-\frac{1}{9})^7$转化为以3为底数的幂，同时注意符号处理，再利用幂的乘方法则化简，最后结合同底数幂的乘法法则计算。
(2) 先将0.125转化为$\frac{1}{8}$，而$\frac{1}{8}$是2的负3次幂，将原式统一为以2为底数的幂的运算，再依次运用幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算。
【解析】
(1) 原式$=3^{14}×[-( \frac{1}{9})^{7}]$
$=-3^{14}×(3^{-2})^{7}$
$=-3^{14}×3^{-14}$
$=-3^{14+(-14)}$
$=-3^{0}$
$=-1$
(2) 原式$=( \frac{1}{8})^{5}×2^{18}$
$=(2^{-3})^{5}×2^{18}$
$=2^{-15}×2^{18}$
$=2^{-15+18}$
$=2^{3}$
$=8$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算、负整数指数幂
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的灵活运用，解题关键是通过底数的转化，将异底数幂运算转化为同底数幂运算，从而简化计算过程，需要学生熟练掌握幂的相关运算法则及负整数指数幂的意义。
【难度系数】
0.7
6. 已知 $x^{2m}y^{3n}=8$（$m$，$n$是正整数），求 $x^{3m}y^{n}·x^{m}y^{5n}$的值.
答案
64
解析
解：
$x^{3m}y^{n}·x^{m}y^{5n}$
$=x^{3m+m}y^{n+5n}$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
$=x^{4m}y^{6n}$
$=(x^{2m})^2·(y^{3n})^2$（幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$）
$=(x^{2m}y^{3n})^2$（积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$）
已知$x^{2m}y^{3n}=8$，代入上式得：
原式$=8^2=64$
$x^{3m}y^{n}·x^{m}y^{5n}$
$=x^{3m+m}y^{n+5n}$（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）
$=x^{4m}y^{6n}$
$=(x^{2m})^2·(y^{3n})^2$（幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$）
$=(x^{2m}y^{3n})^2$（积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$）
已知$x^{2m}y^{3n}=8$，代入上式得：
原式$=8^2=64$
7. 课堂上，我们尝试过计算 $(abc)^{n}$（$n$是正整数），请重温这一过程并进行深入思考.
(1) 用两种方法计算 $(abc)^{n}$（$n$是正整数）；
(2) 尝试用符号表示若干个数乘积的乘方的运算性质.
(1) 用两种方法计算 $(abc)^{n}$（$n$是正整数）；
(2) 尝试用符号表示若干个数乘积的乘方的运算性质.
答案
(1) 方法一：$(abc)^n=\underbrace{(abc)·(abc)·····(abc)}_{n个}=\underbrace{a· a····· a}_{n个}·\underbrace{b· b····· b}_{n个}·\underbrace{c· c····· c}_{n个}=a^n b^n c^n$
方法二：$(abc)^n=[(ab)c]^n=(ab)^n c^n=a^n b^n c^n$
(2) $(a_1a_2··· a_k)^n=a_1^n a_2^n··· a_k^n$（$n$是正整数，$k$是大于1的整数）
方法二：$(abc)^n=[(ab)c]^n=(ab)^n c^n=a^n b^n c^n$
(2) $(a_1a_2··· a_k)^n=a_1^n a_2^n··· a_k^n$（$n$是正整数，$k$是大于1的整数）
解析
【分析】
对于(1)，我们可以从两个角度思考：
角度一：从乘方的定义出发，乘方表示n个相同因数的乘积，先将$(abc)^n$展开成n个abc相乘，再利用乘法交换律和结合律，把相同字母的因数分别结合，转化为每个字母的n次方相乘，进而得到结果；
角度二：借助已学的两个数乘积的乘方运算性质，把abc看作(ab)与c的乘积，先对$(ab)c$应用积的乘方性质得到$(ab)^n c^n$，再对$(ab)^n$再次应用积的乘方性质，最终推导出结果。
对于(2)，根据(1)中三个数乘积的乘方的结论，进行归纳推广，即可得到若干个数乘积的乘方的运算性质。
【解析】
(1) 方法一：根据乘方定义展开，结合乘法运算律分组计算：
$(abc)^n=\underbrace{(abc)·(abc)·····(abc)}_{n个}=\underbrace{a· a····· a}_{n个}·\underbrace{b· b····· b}_{n个}·\underbrace{c· c····· c}_{n个}=a^n b^n c^n$
方法二：利用两个数乘积的乘方性质逐步推导：
$(abc)^n=[(ab)c]^n=(ab)^n c^n=a^n b^n c^n$
(2) 归纳(1)的结论，若干个数乘积的乘方运算性质为：
$(a_1a_2··· a_k)^n=a_1^n a_2^n··· a_k^n$（$n$是正整数，$k$是大于1的整数）
【答案】
(1) 方法一：$\boldsymbol{(abc)^n=\underbrace{(abc)·(abc)·····(abc)}_{n个}=\underbrace{a· a····· a}_{n个}·\underbrace{b· b····· b}_{n个}·\underbrace{c· c····· c}_{n个}=a^n b^n c^n}$；
方法二：$\boldsymbol{(abc)^n=[(ab)c]^n=(ab)^n c^n=a^n b^n c^n}$；
(2) $\boldsymbol{(a_1a_2··· a_k)^n=a_1^n a_2^n··· a_k^n}$（$n$是正整数，$k$是大于1的整数）
【知识点】
积的乘方运算性质、乘方的定义、乘法运算律
【点评】
本题通过两种方法推导三个数乘积的乘方结果，既巩固了乘方的定义和乘法运算律，又深化了对积的乘方运算性质的理解，还通过归纳推广得到若干个数乘积的乘方性质，培养了归纳推理能力，为后续幂的运算学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
对于(1)，我们可以从两个角度思考：
角度一：从乘方的定义出发，乘方表示n个相同因数的乘积，先将$(abc)^n$展开成n个abc相乘，再利用乘法交换律和结合律，把相同字母的因数分别结合，转化为每个字母的n次方相乘，进而得到结果；
角度二：借助已学的两个数乘积的乘方运算性质，把abc看作(ab)与c的乘积，先对$(ab)c$应用积的乘方性质得到$(ab)^n c^n$，再对$(ab)^n$再次应用积的乘方性质，最终推导出结果。
对于(2)，根据(1)中三个数乘积的乘方的结论，进行归纳推广，即可得到若干个数乘积的乘方的运算性质。
【解析】
(1) 方法一：根据乘方定义展开，结合乘法运算律分组计算：
$(abc)^n=\underbrace{(abc)·(abc)·····(abc)}_{n个}=\underbrace{a· a····· a}_{n个}·\underbrace{b· b····· b}_{n个}·\underbrace{c· c····· c}_{n个}=a^n b^n c^n$
方法二：利用两个数乘积的乘方性质逐步推导：
$(abc)^n=[(ab)c]^n=(ab)^n c^n=a^n b^n c^n$
(2) 归纳(1)的结论，若干个数乘积的乘方运算性质为：
$(a_1a_2··· a_k)^n=a_1^n a_2^n··· a_k^n$（$n$是正整数，$k$是大于1的整数）
【答案】
(1) 方法一：$\boldsymbol{(abc)^n=\underbrace{(abc)·(abc)·····(abc)}_{n个}=\underbrace{a· a····· a}_{n个}·\underbrace{b· b····· b}_{n个}·\underbrace{c· c····· c}_{n个}=a^n b^n c^n}$；
方法二：$\boldsymbol{(abc)^n=[(ab)c]^n=(ab)^n c^n=a^n b^n c^n}$；
(2) $\boldsymbol{(a_1a_2··· a_k)^n=a_1^n a_2^n··· a_k^n}$（$n$是正整数，$k$是大于1的整数）
【知识点】
积的乘方运算性质、乘方的定义、乘法运算律
【点评】
本题通过两种方法推导三个数乘积的乘方结果，既巩固了乘方的定义和乘法运算律，又深化了对积的乘方运算性质的理解，还通过归纳推广得到若干个数乘积的乘方性质，培养了归纳推理能力，为后续幂的运算学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
