17. (10分)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像与一次函数$y = kx + 4$的图像相交于$A(1,m)$、$B(4,8)$两点，并与$x$轴交于原点$O$和点$C$。
(1)求这两个函数的表达式。
(2)在$x$轴上方的二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像上是否存在点$D$，使得$S_{\triangle OCD}=\frac{3}{2}S_{\triangle OCB}$？如果存在，请求出所有满足条件的点$D$；如果不存在，请说明理由。

解​：(1)​把​B(4， 8)​代入​y= kx+4，​得​k= 1​
所以一次函数是​y=x+4​
当​x=1​时​，y=1+4=5 ，​
所以​A(1，5)​
把​A(1 ，5)、​​B(4， 8)、​​O(0 ， 0)​代入​y=ax²+ bx+c，​
得$​\begin{cases}{a+b+c=5 }\\{16a+4b+c=8} \\{c=0} \end{cases}​$
解得​a=-1，b=6，c=0​
所以二次函数是​y=-x²+ 6x，​
​(2)​因为​B(4，8)，$ S_{△OCD}= \frac {3}{2}S_{△OCB}​$
所以​D​点的纵坐标是​12​
当​y=12​时，​-x²+6x=12，​方程无解
所以​D​点不存在

18. (10分)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像交$x$轴于点$A$、$B$，交$y$轴于点$C$。且点$B$的坐标为$(1,0)$，若将$\triangle BOC$绕点$O$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$，所得$\triangle DOE$的顶点$E$恰好与点$A$重合，且$\triangle ACD$的面积为3。
(1)求这个二次函数的表达式。
(2)设这个二次函数图像的顶点为$M$，请在$y$轴上找一点$P$，使得$\triangle PAM$的周长最小，并求出点$P$的坐标。
(3)设这个函数图像的对称轴交$x$轴于点$N$，$A$、$M$、$C$、$D$、$N$这5个点是否会在同一个圆上？若在同一个圆上，请求出这个圆的圆心坐标，并简要说明；若不在，请说明理由。

​解：(1)OC=OA=c，OD=OB=1，CD=c-1​
​所以$S_{△ACD}=\frac {1}{2}c(c-1)=3，$​
​解得c= 3或c= -2(舍去)​
​所以A(-3，0)、 C(0 ， 3)​
​把A(-3，0)、B(1 ， 0)代入y=ax²+bx+3，​
​得$\begin{cases}{9a-3b+3=0 } \ {a+b+3=0} \end{cases}​$
​解得a=-1，b=-2​
​所以y=-x²-2x+3​
​(2)y=-(x+1)²+4​
​所以M(-1 ， 4)​
​A关于y轴对称点A'的坐标是(3 ， 0)​
​由A'(3 ， 0)、M(-1 ， 4)得直线MA' ： y=-x+3​
​所以P点坐标是(0 ，3)​
​(3)因为△AMN是直角三角形，​
​若5点共圆，圆心必在AM的中点​
​设该点为G ，则坐标是(-2 ， 2)​
$​GA=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}​$
$​GC=\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}，$$ GD=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}​$
​所以C、D也在△AMN的外接圆圆G上​
​所以这5个点在同一一个圆上，圆心坐标是(-2 ， 2)
​