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二、填空题
7. 若要使分式 $ \frac{1}{a - 1} $ 有意义，则 $ a $ 的取值范围是。
7. 若要使分式 $ \frac{1}{a - 1} $ 有意义，则 $ a $ 的取值范围是。
答案
$ a ≠ 1 $
解析
要使分式 $ \frac{1}{a - 1} $ 有意义，则分母 $ a - 1 $ 不能等于零。
即 $ a - 1 ≠ 0 $，
解得 $ a ≠ 1 $。
即 $ a - 1 ≠ 0 $，
解得 $ a ≠ 1 $。
8. 如果一个多边形的每一个内角都等于 $ 120° $，那么这个多边形的边数是_______。
答案
【解析】：设这个多边形的边数为 $ n $。根据多边形内角和公式，内角和为 $ (n-2) × 180° $。因为每个内角都等于 $ 120° $，所以内角和也可表示为 $ 120° n $。则有方程：$ (n-2) × 180 = 120n $，解得 $ n = 6 $。
【答案】：6
【答案】：6
解析
由于多边形的每个内角都是$120°$，
根据内角与外角的关系，每个外角为：
$180° - 12 0° = 60°$，
由于任意多边形的外角和为$360°$，
因此，多边形的边数（也即外角的个数）为：
$\frac{360°}{60°} = 6$，
所以，这个多边形是一个六边形。
根据内角与外角的关系，每个外角为：
$180° - 12 0° = 60°$，
由于任意多边形的外角和为$360°$，
因此，多边形的边数（也即外角的个数）为：
$\frac{360°}{60°} = 6$，
所以，这个多边形是一个六边形。
9. 若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{m}{3 - x} + 1 $ 有增根，则 $ m $ 的值是。
答案
-7
解析
方程$\frac{2x + 1}{x - 3} = \frac{m}{3 - x} + 1$，将$\frac{m}{3 - x}$化为$-\frac{m}{x - 3}$，方程变为$\frac{2x + 1}{x - 3} = -\frac{m}{x - 3} + 1$。两边乘$x - 3$去分母得：$2x + 1 = -m + x - 3$，化简得$x = -m - 4$。因为方程有增根，增根为$x = 3$，代入$x = -m - 4$得$3 = -m - 4$，解得$m = -7$。
10. 若一次函数 $ y_1 = mx + n $ 与 $ y_2 = -x + a $ 的图象如图，则 $ -x + a ＜ mx + n $ 的解集为。
答案
$x ＞ 3$
解析
根据图象，函数 $ y_1 = mx + n $ 和 $ y_2 = -x + a $ 的交点为 $ (3, 2) $。当 $ x ＞ 3 $ 时，图象 $ y_2 = -x + a $ 在 $ y_1 = mx + n $ 的下方，即 $ -x + a ＜ mx + n $。
因此，$ -x + a ＜ mx + n $ 的解集为 $ x ＞ 3 $。
因此，$ -x + a ＜ mx + n $ 的解集为 $ x ＞ 3 $。
11. 如图，$ □ ABCD $ 的对角线 $ AC $，$ BD $ 相交于点 $ O $，$ E $，$ F $ 分别是线段 $ AO $，$ BO $ 的中点。若 $ AC + BD = 24\ \mathrm{cm} $，$ △ OAB $ 的周长是 $ 18\ \mathrm{cm} $，则 $ EF $ 的长为_______。
答案
3cm
解析
在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $O$，则 $AO=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$。
由 $AC + BD = 24\ \mathrm{cm}$，得 $AO + BO = \frac{1}{2}(AC + BD) = 12\ \mathrm{cm}$。
$△ OAB$ 的周长为 $OA + OB + AB = 18\ \mathrm{cm}$，则 $AB = 18 - (AO + BO) = 18 - 12 = 6\ \mathrm{cm}$。
$E$、$F$ 分别是 $AO$、$BO$ 的中点，故 $EF$ 是 $△ OAB$ 的中位线，所以 $EF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
由 $AC + BD = 24\ \mathrm{cm}$，得 $AO + BO = \frac{1}{2}(AC + BD) = 12\ \mathrm{cm}$。
$△ OAB$ 的周长为 $OA + OB + AB = 18\ \mathrm{cm}$，则 $AB = 18 - (AO + BO) = 18 - 12 = 6\ \mathrm{cm}$。
$E$、$F$ 分别是 $AO$、$BO$ 的中点，故 $EF$ 是 $△ OAB$ 的中位线，所以 $EF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 6 = 3\ \mathrm{cm}$。
12. 提升题 $ A(3, 4) $ 是平面直角坐标系第一象限内一点，$ B $ 为 $ x $ 轴正半轴上一点，$ O $ 为坐标原点。若 $ △ AOB $ 为等腰三角形，则点 $ B $ 的坐标为_______。
答案
$(5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)$
解析
已知点 $ A(3,4) $，$ O(0,0) $，设点 $ B(x,0) $，
因为$△AOB$为等腰三角形，所以需要分三种情况讨论；
当$OA=OB$时：
利用两点间的距离公式：$OA=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} =5$，
所以$OB=x=5$，
因此点$B$的坐标为$(5,0)$；
当$OA=AB$时：
同样利用两点间的距离公式，有：
$AB=\sqrt{(3-x)^2+(4-0)^2} $，
由于$OA=AB$，所以：
$\sqrt{(3-x)^2+4^2} =5$，
解得$x=6$或$x=0$（舍去，因为点B在x轴正半轴上，且不与原点重合），
因此点$B$的坐标为$(6,0)$；
当$OB=AB$时：
利用两点间的距离公式，有：
$OB=\sqrt{(x-0)^2} =x$，
$AB=\sqrt{(3-x)^2+4^2}$，
由于$OB=AB$，所以：
$x=\sqrt{(3-x)^2+4^2}$，
解得$x=\frac{25}{6}$，
因此点$B$的坐标为$(\frac{25}{6},0)$；
综上所述，点$B$的坐标有三种可能：$(5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)$。
因为$△AOB$为等腰三角形，所以需要分三种情况讨论；
当$OA=OB$时：
利用两点间的距离公式：$OA=\sqrt{(3-0)^2+(4-0)^2} =5$，
所以$OB=x=5$，
因此点$B$的坐标为$(5,0)$；
当$OA=AB$时：
同样利用两点间的距离公式，有：
$AB=\sqrt{(3-x)^2+(4-0)^2} $，
由于$OA=AB$，所以：
$\sqrt{(3-x)^2+4^2} =5$，
解得$x=6$或$x=0$（舍去，因为点B在x轴正半轴上，且不与原点重合），
因此点$B$的坐标为$(6,0)$；
当$OB=AB$时：
利用两点间的距离公式，有：
$OB=\sqrt{(x-0)^2} =x$，
$AB=\sqrt{(3-x)^2+4^2}$，
由于$OB=AB$，所以：
$x=\sqrt{(3-x)^2+4^2}$，
解得$x=\frac{25}{6}$，
因此点$B$的坐标为$(\frac{25}{6},0)$；
综上所述，点$B$的坐标有三种可能：$(5,0)$或$(6,0)$或$(\frac{25}{6},0)$。
三、解答题
13. 解分式方程：$ \frac{5}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1 $。
13. 解分式方程：$ \frac{5}{x - 1} + \frac{3}{1 - x} = 1 $。
答案
解：方程两边同乘($x - 1$)，得：
$5 - 3 = x - 1$
$2 = x - 1$
$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 1 = 2 ≠ 0$
所以，原分式方程的解为$x = 3$。
$5 - 3 = x - 1$
$2 = x - 1$
$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 1 = 2 ≠ 0$
所以，原分式方程的解为$x = 3$。
14. 若一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的 4 倍多 $ 30^{\circ} $，求这个多边形的边数。
答案
12
解析
设这个多边形的每个外角为$ x $度，则每个内角为$ (4x + 30) $度。
因为多边形的每个内角与相邻外角互补，所以：
$ x + (4x + 30) = 180 $
解得：$ 5x = 150 $，$ x = 30 $。
由于多边形外角和为$ 360° $，设边数为$ n $，则：
$ n = \frac{360}{x} = \frac{360}{30} = 12 $。
因为多边形的每个内角与相邻外角互补，所以：
$ x + (4x + 30) = 180 $
解得：$ 5x = 150 $，$ x = 30 $。
由于多边形外角和为$ 360° $，设边数为$ n $，则：
$ n = \frac{360}{x} = \frac{360}{30} = 12 $。
15. 解不等式组 $ \begin{cases} 5x - 1 ＜ 3(x + 1), \\ \frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1, \end{cases} $ 并把解集在数轴上表示出来。
答案
$-1 ≤ x ＜ 2$
解析
解不等式组：
$\begin{cases} 5x - 1 ＜ 3(x + 1) \\ \frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1 \end{cases}$
解第一个不等式：
$5x - 1 ＜ 3(x + 1)$
去括号：$5x - 1 ＜ 3x + 3$
移项：$5x - 3x ＜ 3 + 1$
合并同类项：$2x ＜ 4$
系数化为1：$x ＜ 2$
解第二个不等式：
$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1$
去分母（两边乘6）：$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$
去括号：$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
合并同类项：$-11x - 5 ≤ 6$
移项：$-11x ≤ 11$
系数化为1（不等号变向）：$x ≥ -1$
不等式组的解集： $-1 ≤ x ＜ 2$
数轴表示：
$\begin{cases} 5x - 1 ＜ 3(x + 1) \\ \frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1 \end{cases}$
解第一个不等式：
$5x - 1 ＜ 3(x + 1)$
去括号：$5x - 1 ＜ 3x + 3$
移项：$5x - 3x ＜ 3 + 1$
合并同类项：$2x ＜ 4$
系数化为1：$x ＜ 2$
解第二个不等式：
$\frac{2x - 1}{3} - \frac{5x + 1}{2} ≤ 1$
去分母（两边乘6）：$2(2x - 1) - 3(5x + 1) ≤ 6$
去括号：$4x - 2 - 15x - 3 ≤ 6$
合并同类项：$-11x - 5 ≤ 6$
移项：$-11x ≤ 11$
系数化为1（不等号变向）：$x ≥ -1$
不等式组的解集： $-1 ≤ x ＜ 2$
数轴表示：
