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3. 如图，小手盖住的点的坐标可能是().
A.$ (4,-1) $
B.$ (-1,-4) $
C.$ (2,3) $
D.$ (-2,2) $
A.$ (4,-1) $
B.$ (-1,-4) $
C.$ (2,3) $
D.$ (-2,2) $
答案
D
解析
根据图示，小手位于第二象限，第二象限中的点的坐标特征是横坐标为负，纵坐标为正，因此小手盖住的点的坐标应符合这一特征，逐一分析选项：
A. $ (4, -1) $：第一或第四象限，不符合；
B. $ (-1, -4) $：第三象限，不符合；
C. $ (2, 3) $：第一象限，不符合；
D. $ (-2, 2) $：第二象限，符合。
所以选择D。
A. $ (4, -1) $：第一或第四象限，不符合；
B. $ (-1, -4) $：第三象限，不符合；
C. $ (2, 3) $：第一象限，不符合；
D. $ (-2, 2) $：第二象限，符合。
所以选择D。
4. 已知点 $ P(m + 2,2m - 4) $ 在 $ x $ 轴上，则点 $ P $ 的坐标是().
A.$ (4,0) $
B.$ (0,4) $
C.$ (-4,0) $
D.$ (0,-4) $
A.$ (4,0) $
B.$ (0,4) $
C.$ (-4,0) $
D.$ (0,-4) $
答案
A
解析
已知点$P(m + 2,2m - 4)$在$x$轴上，根据$x$轴上点的坐标特征，其纵坐标为$0$，即$2m - 4 = 0$，
解这个方程可得：
$2m=4$，
$m = 2$。
将$m = 2$代入横坐标$m + 2$中，可得$m + 2=2 + 2 = 4$。
所以点$P$的坐标是$(4,0)$。
解这个方程可得：
$2m=4$，
$m = 2$。
将$m = 2$代入横坐标$m + 2$中，可得$m + 2=2 + 2 = 4$。
所以点$P$的坐标是$(4,0)$。
5. 如图，写出图中 $ A,B,C,D,E,F,O $ 各点的坐标.
答案
$A(2,3)$，$B(3,2)$，$C(-2,1)$，$D(-2,-2)$，$E(2.5,0)$，$F(0,-2)$，$O(0,0)$
知识点 3 平面直角坐标系中点的位置的确定
6. (2024 昆明西山区期末)下列各点中，在第四象限内的点是().
A.$ (2,3) $
B.$ (-2,-3) $
C.$ (2,-3) $
D.$ (-2,3) $
6. (2024 昆明西山区期末)下列各点中，在第四象限内的点是().
A.$ (2,3) $
B.$ (-2,-3) $
C.$ (2,-3) $
D.$ (-2,3) $
答案
C
解析
在平面直角坐标系中，第四象限的点的特征是横坐标为正，纵坐标为负，即点的坐标形式为$(x, y)$，其中$x ＞ 0$，$y ＜ 0$。
A选项：点$(2, 3)$的横坐标为正，纵坐标为正，所以在第一象限；
B选项：点$(-2, -3)$的横坐标为负，纵坐标为负，所以在第三象限；
C选项：点$(2, -3)$的横坐标为正，纵坐标为负，所以在第四象限；
D选项：点$(-2, 3)$的横坐标为负，纵坐标为正，所以在第二象限。
综上所述，只有C选项符合第四象限内点的特征。
A选项：点$(2, 3)$的横坐标为正，纵坐标为正，所以在第一象限；
B选项：点$(-2, -3)$的横坐标为负，纵坐标为负，所以在第三象限；
C选项：点$(2, -3)$的横坐标为正，纵坐标为负，所以在第四象限；
D选项：点$(-2, 3)$的横坐标为负，纵坐标为正，所以在第二象限。
综上所述，只有C选项符合第四象限内点的特征。
7. 在平面直角坐标系中，点 $ (0,-4) $ 在().
A.$ x $ 轴的正半轴上
B.$ y $ 轴的负半轴上
C.$ y $ 轴的正半轴上
D.$ x $ 轴的负半轴上
A.$ x $ 轴的正半轴上
B.$ y $ 轴的负半轴上
C.$ y $ 轴的正半轴上
D.$ x $ 轴的负半轴上
答案
B
解析
在平面直角坐标系中，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。点(0,-4)横坐标为0，在y轴上；纵坐标为-4，小于0，所以在y轴的负半轴上。
8. (2024 昆明五华区期末)在平面直角坐标系中，点 $ P(x,y) $ 的坐标满足 $ xy ＞ 0 $，则点 $ P $ 在().
A.第一、第二象限
B.第二、第三象限
C.第一、第三象限
D.第二、第四象限
A.第一、第二象限
B.第二、第三象限
C.第一、第三象限
D.第二、第四象限
答案
C
解析
已知点$P(x,y)$的坐标满足$xy＞0$，根据有理数乘法法则，两数相乘同号得正，异号得负，可知$x$与$y$同号，即$\begin{cases}x＞0\\y＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x＜0\\y＜0\end{cases}$。
在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为$(+,+)$，第三象限的点的坐标特征为$(-,-)$，所以当$\begin{cases}x＞0\\y＞0\end{cases}$时，点$P$在第一象限；当$\begin{cases}x＜0\\y＜0\end{cases}$时，点$P$在第三象限。
综上，点$P$在第一、三象限。
在平面直角坐标系中，第一象限的点的坐标特征为$(+,+)$，第三象限的点的坐标特征为$(-,-)$，所以当$\begin{cases}x＞0\\y＞0\end{cases}$时，点$P$在第一象限；当$\begin{cases}x＜0\\y＜0\end{cases}$时，点$P$在第三象限。
综上，点$P$在第一、三象限。
9. 在平面直角坐标系中，若点 $ P $ 在第二象限，且点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ 2 $，到 $ y $ 轴的距离为 $ 1 $，则点 $ P $ 的坐标为().
A.$ (1,-2) $
B.$ (2,-1) $
C.$ (2,1) $
D.$ (-1,2) $
A.$ (1,-2) $
B.$ (2,-1) $
C.$ (2,1) $
D.$ (-1,2) $
答案
D
解析
1. 因为点 $ P $ 在第二象限，所以其横坐标为负，纵坐标为正。
2. 点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ 2 $，所以纵坐标为 $ 2 $。
3. 点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ 1 $，所以横坐标为 $ -1 $。
4. 综上，点 $ P $ 的坐标为 $ (-1, 2) $。
2. 点 $ P $ 到 $ x $ 轴的距离为 $ 2 $，所以纵坐标为 $ 2 $。
3. 点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ 1 $，所以横坐标为 $ -1 $。
4. 综上，点 $ P $ 的坐标为 $ (-1, 2) $。
10. 点 $ P $ 是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点 $ P $ 向 $ x $ 轴、$ y $ 轴作垂线段，若垂线段的长度的和为 $ 4 $，则点 $ P $ 叫作“垂距点”，例如，如图，点 $ P(1,3) $ 是“垂距点”.
(1) 在点 $ A(-2,2) $，$ B(\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{2}) $，$ C(-1,5) $ 中，“垂距点”是哪个点？
(2) 若点 $ D(\dfrac{3}{2}m,\dfrac{5}{2}m) $ 是“垂距点”，求 $ m $ 的值.
(1) 在点 $ A(-2,2) $，$ B(\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{2}) $，$ C(-1,5) $ 中，“垂距点”是哪个点？
(2) 若点 $ D(\dfrac{3}{2}m,\dfrac{5}{2}m) $ 是“垂距点”，求 $ m $ 的值.
答案
(1) 对于点$A(-2,2)$：$|-2| + |2| = 2 + 2 = 4$，是“垂距点”；
对于点$B(\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{2})$：$|\dfrac{1}{2}| + |-\dfrac{5}{2}| = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} = 3 ≠ 4$，不是“垂距点”；
对于点$C(-1,5)$：$|-1| + |5| = 1 + 5 = 6 ≠ 4$，不是“垂距点”。
故“垂距点”是$A$。
(2) 点$D(\dfrac{3}{2}m,\dfrac{5}{2}m)$是“垂距点”，且不在坐标轴上，所以$\dfrac{3}{2}m ≠ 0$，$\dfrac{5}{2}m ≠ 0$，即$m ≠ 0$。
$|\dfrac{3}{2}m| + |\dfrac{5}{2}m| = 4$，即$\dfrac{3}{2}|m| + \dfrac{5}{2}|m| = 4$，$4|m| = 4$，$|m| = 1$，解得$m = \pm 1$。
(1) $A$
(2) $m = \pm 1$
对于点$B(\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{2})$：$|\dfrac{1}{2}| + |-\dfrac{5}{2}| = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} = 3 ≠ 4$，不是“垂距点”；
对于点$C(-1,5)$：$|-1| + |5| = 1 + 5 = 6 ≠ 4$，不是“垂距点”。
故“垂距点”是$A$。
(2) 点$D(\dfrac{3}{2}m,\dfrac{5}{2}m)$是“垂距点”，且不在坐标轴上，所以$\dfrac{3}{2}m ≠ 0$，$\dfrac{5}{2}m ≠ 0$，即$m ≠ 0$。
$|\dfrac{3}{2}m| + |\dfrac{5}{2}m| = 4$，即$\dfrac{3}{2}|m| + \dfrac{5}{2}|m| = 4$，$4|m| = 4$，$|m| = 1$，解得$m = \pm 1$。
(1) $A$
(2) $m = \pm 1$
11. (推理能力)如图，小明编了一个“步步高升”程序，已知点 $ A $ 在平面直角坐标系中按“$ O \to A_1 \to A_2 \to A_3 \to ··· $”的规律跳动. 已知 $ A_1(1,2) $，$ A_2(2,1) $，$ A_3(3,3) $，$ A_4(4,2) $，$ A_5(5,4) $，$ A_6(6,3) $，$ ··· $，按此规律，$ A_{2026} $ 的坐标为.
答案
(2026,1013)
解析
观察点的坐标规律，横坐标为点的序号n，即$x=n$。纵坐标规律：当n为偶数时，$y=\frac{n}{2}$。因为2026是偶数，所以$A_{2026}$的横坐标为2026，纵坐标为$\frac{2026}{2}=1013$，坐标为$(2026,1013)$。
