活动 2 口算求立方根
【例 2】数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求 59 319 的立方根。华罗庚脱口而出：39. 众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘。你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①$\because \sqrt[3]{1000}=10,\sqrt[3]{1000000}=100$，且 $1000＜59319＜100000$，$\therefore 10＜\sqrt[3]{59319}＜100$。$\therefore$ 能确定 59 319 的立方根是个两位数。
②$\because 59 319$ 的个位数是 9，且 $9^{3}=729$，$\therefore$ 能确定 59 319 的立方根的个位数是 9。
③如果划去 59 319 后面的三个数得到数 59，而 $\sqrt[3]{27}＜\sqrt[3]{59}＜\sqrt[3]{64}$，则 $3＜\sqrt[3]{59}＜4$，可得 $30＜\sqrt[3]{59319}＜40$，由此能确定 59 319 的立方根的十位数是 3. 因此 59 319 的立方根是 39.
(1)现在换一个数 17 576，按这种方法求立方根，请完成下列填空。
①它的立方根是位数；
②它的立方根的个位数是；
③它的立方根的十位数是；
④17 576 的立方根是。
(2)根据计算步骤，请计算 $\sqrt[3]{474552}$，并书写详细过程。
【变式训练】

$(1)$
① 两
② $6$
③ $2$
④ $26$
$(2)$
解：
① 因为$\sqrt[3]{1000} = 10$，$\sqrt[3]{1000000} = 100$，且$1000＜474552＜1000000$，所以$10＜\sqrt[3]{474552}＜100$，能确定$474552$的立方根是个两位数。
② 因为$474552$的个位数是$2$，且$8^{3}=512$，所以能确定$474552$的立方根的个位数是$8$。
③ 如果划去$474552$后面的三个数得到数$474$，而$\sqrt[3]{343}＜\sqrt[3]{474}＜\sqrt[3]{512}$，即$7＜\sqrt[3]{474}＜8$，可得$70＜\sqrt[3]{474552}＜80$，由此能确定$474552$的立方根的十位数是$7$。
所以$\sqrt[3]{474552}=78$。

2. 观察下列等式：$3^{1}=3,3^{2}=9,3^{3}=27,3^{4}=81,3^{5}=243,3^{6}=729,3^{7}=2187,···$，根据此规律可得 $3 + 3^{2}+3^{3}+3^{4}+···+3^{2026}$ 的个位数字是。

2

观察3ⁿ的个位数字规律：3¹=3（个位3），3²=9（个位9），3³=27（个位7），3⁴=81（个位1），3⁵=243（个位3），周期为4，循环节为3,9,7,1。
从3¹到3²⁰²⁶共2026项，2026÷4=506余2，即有506个完整周期，余2项。
每个周期个位数字和：3+9+7+1=20，个位为0，506个周期和的个位为0。
余下2项为循环节前2项：3和9，其和个位为3+9=12→2。
总和个位数字：0+2=2。