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1. 如
A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2
图
，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，交$DC$的延长线于点$F$。若$AB = 4$，$AD = 6$，则$EC$的长为()A.1
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{4}{3}$
D.2
答案
D
解析
由于$ABCD$是平行四边形，
$\therefore BC=AD=6，CD=AB=4$，（平行四边形对边相等），
$\therefore AD// BC$，（平行四边形对边平行），
$\therefore ∠ DAE=∠ BEA$，（两直线平行，内错角相等），
$\because AE$是$∠BAD$的平分线，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA$，
在$△ ABE$中，$∠ BAE=∠ BEA$，
$\therefore BE=AB=4$，（等角对等边），
$\therefore EC=BC-BE=6-4=2$。
$\therefore BC=AD=6，CD=AB=4$，（平行四边形对边相等），
$\therefore AD// BC$，（平行四边形对边平行），
$\therefore ∠ DAE=∠ BEA$，（两直线平行，内错角相等），
$\because AE$是$∠BAD$的平分线，
$\therefore ∠ BAE=∠ DAE$，
$\therefore ∠ BAE=∠ BEA$，
在$△ ABE$中，$∠ BAE=∠ BEA$，
$\therefore BE=AB=4$，（等角对等边），
$\therefore EC=BC-BE=6-4=2$。
2. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BCD$的平分线交$AD$于点$E$。若$AB = EC$，则$∠ A =$。
答案
120°
解析
在□ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠A=∠BCD，∠ADC+∠BCD=180°。
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE=∠BCD/2。
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE（内错角相等），
∴∠DEC=∠DCE，故DE=DC（等角对等边）。
∵AB=EC且AB=CD，
∴EC=CD，
∴DE=DC=EC，即△DEC为等边三角形，∠EDC=60°。
∵∠ADC=∠EDC=60°，
∴∠A=180°-∠ADC=120°。
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE=∠BCD/2。
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠BCE（内错角相等），
∴∠DEC=∠DCE，故DE=DC（等角对等边）。
∵AB=EC且AB=CD，
∴EC=CD，
∴DE=DC=EC，即△DEC为等边三角形，∠EDC=60°。
∵∠ADC=∠EDC=60°，
∴∠A=180°-∠ADC=120°。
3. 如图，在$□ ABCD$中，$AD ⊥ BD$，$∠ A = 30^{\circ}$，$BD = 3$，则$□ ABCD$的面积等于。
答案
9√3
解析
在□ABCD中，AD⊥BD，故△ABD为直角三角形，∠ADB=90°。
∵∠A=30°，BD=3，∠A的对边为BD，
∴在Rt△ABD中，30°角所对直角边等于斜边一半，即BD=1/2AB，∴AB=6。
由勾股定理得：AD=√(AB²-BD²)=√(6²-3²)=√27=3√3。
□ABCD的面积=AD×BD=3√3×3=9√3。
∵∠A=30°，BD=3，∠A的对边为BD，
∴在Rt△ABD中，30°角所对直角边等于斜边一半，即BD=1/2AB，∴AB=6。
由勾股定理得：AD=√(AB²-BD²)=√(6²-3²)=√27=3√3。
□ABCD的面积=AD×BD=3√3×3=9√3。
4. 如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，$AF ⊥ CD$于点$F$。若$AE:AF = 2:3$，$□ ABCD$的周长为50，则$AB$的长为。
答案
10
解析
在平行四边形$ABCD$中，设$AB = CD = a$，$BC = AD = b$，$AE$和$AF$分别为$BC$和$CD$上的高。
已知$AE:AF = 2:3$，设$AE = 2x$，$AF = 3x$。
平行四边形的面积可以表示为$BC × AE = CD × AF$，即：
$b · 2x = a · 3x$，
$2b = 3a$，
平行四边形的周长为50，即：
$2(a + b) = 50$，
$a + b = 25$。
将$b = \frac{3}{2}a$代入$a + b = 25$，得：
$a + \frac{3}{2}a = 25$，
$\frac{5}{2}a = 25$，
$a = 10$。
所以$AB = a = 10$。
已知$AE:AF = 2:3$，设$AE = 2x$，$AF = 3x$。
平行四边形的面积可以表示为$BC × AE = CD × AF$，即：
$b · 2x = a · 3x$，
$2b = 3a$，
平行四边形的周长为50，即：
$2(a + b) = 50$，
$a + b = 25$。
将$b = \frac{3}{2}a$代入$a + b = 25$，得：
$a + \frac{3}{2}a = 25$，
$\frac{5}{2}a = 25$，
$a = 10$。
所以$AB = a = 10$。
5. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且$AC = 6$，$BD = 10$，$AB = 4$。
（1）求$∠ BAC$的度数；
（2）求$□ ABCD$的面积。
（1）求$∠ BAC$的度数；
（2）求$□ ABCD$的面积。
答案
（1）90°；（2）24。
解析
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线AC，BD互相平分，即AO=AC/2=3，BO=BD/2=5。在△ABO中，AB=4，AO=3，BO=5，∵3²+4²=5²，∴△ABO是直角三角形，∠BAO=90°，即∠BAC=90°。
（2）∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB。S□ABCD=AB×AC=4×6=24。
（2）∵∠BAC=90°，∴AC⊥AB。S□ABCD=AB×AC=4×6=24。
6. 提升题 如图，在$□ ABCD$中，$∠ BAD$和$∠ ABC$的平分线恰好相交于$CD$上的点$E$，延长$AE$，交$BC$的延长线于点$F$。
（1）求证：$CD = BF$；
（2）若$CD = 6$，求$CF$的长。
（1）求证：$CD = BF$；
（2）若$CD = 6$，求$CF$的长。
答案
（1）见证明；（2）3。
解析
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，AB//CD。
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠F（内错角相等）。
∴∠BAE=∠F，∴AB=BF（等角对等边）。
∵AB=CD，∴CD=BF。
（2）解：
∵AB//CD，∴∠BAE=∠AED（内错角相等）。
∵∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE（等角对等边）。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵AB//CD，∴∠ABE=∠BEC（内错角相等）。
∴∠CBE=∠BEC，∴BC=CE（等角对等边）。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC。设AD=BC=x，则DE=CE=x。
∵CD=DE+CE=2x，CD=6，∴2x=6，x=3。
∴BC=3。
∵BF=CD=6，BF=BC+CF，∴CF=BF-BC=6-3=3。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，AB//CD。
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠F（内错角相等）。
∴∠BAE=∠F，∴AB=BF（等角对等边）。
∵AB=CD，∴CD=BF。
（2）解：
∵AB//CD，∴∠BAE=∠AED（内错角相等）。
∵∠BAE=∠DAE，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE（等角对等边）。
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵AB//CD，∴∠ABE=∠BEC（内错角相等）。
∴∠CBE=∠BEC，∴BC=CE（等角对等边）。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC。设AD=BC=x，则DE=CE=x。
∵CD=DE+CE=2x，CD=6，∴2x=6，x=3。
∴BC=3。
∵BF=CD=6，BF=BC+CF，∴CF=BF-BC=6-3=3。
