14. （2024 扬州）解不等式组$\begin{cases}2x-6≤0,\\x＜\dfrac{4x-1}{2},\end{cases}$并求出它的所有整数解的和.

$\begin{cases}2x - 6 ≤ 0, ① \\x ＜ \frac{4x - 1}{2} .②\end{cases}$
解不等式$①$：
$2x ≤ 6$，
$x ≤ 3$，
解不等式$②$：
两边同时乘以$2$得：
$2x ＜ 4x - 1$，
移项得：
$-2x ＜ -1$，
系数化为$1$得：
$x ＞ \frac{1}{2}$，
综合不等式$①$和不等式$②$的解集，得到不等式组的解集为：
$\frac{1}{2} ＜ x ≤ 3$，
在这个范围内，不等式组的所有整数解为$1$，$2$，$3$。
这些整数解的和为：
$1 + 2 + 3 = 6$，
所以原不等式组的所有整数解的和为$6$。

15. 为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共 50 个.其中水基灭火器的售价为 540 元/个，干粉灭火器的售价为 380 元/个.若学校购买这两种灭火器的总费用不超过 21 000 元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？

设购买水基灭火器$x$个，则购买干粉灭火器$(50 - x)$个。
根据题意，得$540x + 380(50 - x) ≤ 21000$
去括号：$540x + 19000 - 380x ≤ 21000$
合并同类项：$160x + 19000 ≤ 21000$
移项：$160x ≤ 21000 - 19000$
计算：$160x ≤ 2000$
系数化为1：$x ≤ 12.5$
因为$x$为整数，所以$x$的最大值为12。
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个。

16. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x-m＜4,\\3x-2m≥ n\end{cases}$的解集是$-2≤ x＜3$，求$m+n$的值.

答题卡：
首先解不等式组
$\begin{cases}2x - m ＜ 4, \mathrm{①} \\3x - 2m ≥ n. \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：
$2x ＜ m + 4$，
$x ＜ \frac{m + 4}{2}$，
解不等式②：
$3x ≥ 2m + n$，
$x ≥ \frac{2m + n}{3}$，
因此，不等式组的解集为：
$\frac{2m + n}{3} ≤ x ＜ \frac{m + 4}{2}$，
根据题目条件，这个解集等于 $-2 ≤ x ＜ 3$。
所以，可以建立如下方程组：
$\begin{cases}\frac{2m + n}{3} = -2, \\frac{m + 4}{2} = 3,\end{cases}$
解第二个方程，得到：
$m + 4 = 6$，
$m = 2$，
将 $m = 2$ 代入第一个方程，得到：
$\frac{4 + n}{3} = -2$，
$4 + n = -6$，
$n = -10$，
最后，求 $m + n$ 的值：
$m + n = 2 + (-10) = -8$，
故 $m + n = -8$。