例 1 如图，一次函数 $ y = -\dfrac{2}{3}x + 2 $ 的图象分别与 $ x $ 轴，$ y $ 轴交于点 $ A $，$ B $，以线段 $ AB $ 为边在第一象限内作等腰直角三角形 $ ABC $，$ ∠ BAC = 90^{\circ} $。求：

(1) 点 $ A $，$ B $ 的坐标；
(2) 过 $ B $，$ C $ 两点直线的解析式。
【思路导析】(1) 根据坐标轴上的点的坐标特征求出 $ A $，$ B $ 两点的坐标；
(2) 作 $ CD ⊥ x $ 轴，垂足为 $ D $，由全等三角形的判定定理可得出 $ △ ABO ≌ △ CAD $，可得出 $ C $ 点坐标，再用待定系数法即可求出直线 $ BC $ 的解析式。
【规范解答】(1) 一次函数 $ y = -\dfrac{2}{3}x + 2 $ 中，令 $ y = 0 $，解得 $ x = 3 $，则点 $ A $ 的坐标是 $ (3,0) $。
令 $ x = 0 $ 得 $ y = 2 $，则点 $ B $ 的坐标是 $ (0,2) $。
(2) 作 $ CD ⊥ x $ 轴，垂足为 $ D $。
$ \because ∠ BAC = 90^{\circ} $，
$ \therefore ∠ OAB + ∠ CAD = 90^{\circ} $。
又 $ \because ∠ CAD + ∠ ACD = 90^{\circ} $，
$ \therefore ∠ ACD = ∠ BAO $。
在 $ △ ABO $ 与 $ △ CAD $ 中，
$ \begin{cases} ∠ BOA = ∠ CDA = 90^{\circ}, \\ ∠ ACD = ∠ BAO, \\ AB = AC, \end{cases} $
$ \therefore △ ABO ≌ △ CAD(AAS) $，
$ \therefore AD = OB = 2 $，$ CD = OA = 3 $，
$ \therefore OD = OA + AD = 5 $。
即点 $ C $ 的坐标是 $ (5,3) $。
设直线 $ BC $ 的解析式是 $ y = kx + b $，
根据题意得 $ \begin{cases} b = 2, \\ 5k + b = 3, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = \dfrac{1}{5}, \\ b = 2. \end{cases} $
则直线 $ BC $ 的解析式是 $ y = \dfrac{1}{5}x + 2 $。

(1) 对于一次函数 $ y = -\dfrac{2}{3}x + 2 $：
令 $ y = 0 $，则 $ -\dfrac{2}{3}x + 2 = 0 $，解得 $ x = 3 $，所以点 $ A $ 的坐标为 $ (3, 0) $。
令 $ x = 0 $，则 $ y = 2 $，所以点 $ B $ 的坐标为 $ (0, 2) $。
(2) 作 $ CD ⊥ x $ 轴于点 $ D $。
因为 $ ∠ BAC = 90° $，所以 $ ∠ BAO + ∠ CAD = 90° $。
又因为 $ ∠ CAD + ∠ ACD = 90° $，所以 $ ∠ ACD = ∠ BAO $。
在 $ △ ABO $ 和 $ △ CAD $ 中：
$\begin{cases}∠ BOA = ∠ CDA = 90° \\∠ ACD = ∠ BAO \\AB = AC\end{cases}$
所以 $ △ ABO ≌ △ CAD (AAS) $。
因此 $ AD = OB = 2 $，$ CD = OA = 3 $。
所以 $ OD = OA + AD = 3 + 2 = 5 $，点 $ C $ 的坐标为 $ (5, 3) $。
设直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = kx + b $，将 $ B(0, 2) $，$ C(5, 3) $ 代入得：
$\begin{cases}b = 2 \\5k + b = 3\end{cases}$
解得 $ k = \dfrac{1}{5} $，$ b = 2 $。
所以直线 $ BC $ 的解析式为 $ y = \dfrac{1}{5}x + 2 $。

二、一次函数与四边形

答题卡：
作答：
设一次函数为$y = kx + b (k≠ 0)$，令$x=0$，得$y=b$，则与y轴交点为$(0,b)$，
当$k＞0$，$b＞0$时，函数图象经过一，二，三象限，令$x = 0$，则$y = b$，令$y = 0$，则$x=-\frac{b}{k}$，
所以与坐标轴围成四边形（特殊为三角形，可看作四边形一特殊情况）面积$S=\frac{1}{2}× b×\frac{b}{k}=\frac{b^{2}}{2k}$；
当$k＞0$，$b＜0$时，函数图象经过一，三，四象限，与y轴交点为$(0,b)$，与x轴交点为$(-\frac{b}{k},0)$，围成四边形（特殊为三角形）面积$S = \frac{1}{2}×\vert b\vert×\frac{\vert b\vert}{k}=\frac{b^{2}}{2k}$；
当$k＜0$，$b＞0$时，函数图象经过一，二，四象限，与坐标轴围成四边形（特殊为三角形）面积$S=\frac{1}{2}× b×\frac{b}{\vert k\vert}=\frac{b^{2}}{2\vert k\vert}$；
当$k＜0$，$b＜0$时，函数图象经过二，三，四象限，与坐标轴围成四边形（特殊为三角形）面积$S=\frac{1}{2}×\vert b\vert×\frac{\vert b\vert}{\vert k\vert}=\frac{b^{2}}{2\vert k\vert}$。
综上，一次函数$y = kx + b(k≠0)$与坐标轴围成以坐标轴为两边的四边形（特殊为三角形）面积$S=\frac{b^{2}}{2\vert k\vert}$。

例 2 如图，已知函数 $ y = -\dfrac{1}{2}x + b $ 的图象与 $ x $ 轴，$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，与函数 $ y = x $ 的图象交于点 $ M $，点 $ M $ 的横坐标为 $ 2 $。

(1) 求点 $ A $ 的坐标；
(2) 在 $ x $ 轴上有一动点 $ P(a,0) $（其中 $ a ＞ 2 $），过点 $ P $ 作 $ x $ 轴的垂线，分别交函数 $ y = -\dfrac{1}{2}x + b $ 和 $ y = x $ 的图象于点 $ C $，$ D $。
① 若 $ OB = 2CD $，求 $ a $ 的值；
② 是否存在这样的点 $ P $，使以 $ B $，$ O $，$ C $，$ D $ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由。
【思路导析】(1) 令 $ y = 0 $，则可求得点 $ A $ 的坐标；
(2) ① 用 $ a $ 可表示出点 $ C $，$ D $ 的坐标，从而可表示出 $ CD $ 的长，则由条件可得到关于 $ a $ 的方程，可求得 $ a $ 的值；② 当四边形为平行四边形时可得 $ OB = CD $，同①可得到关于 $ a $ 的方程，求得 $ a $ 的值，则可求得点 $ P $ 的坐标。
【规范解答】(1) $ \because $ 点 $ M $ 的横坐标为 $ 2 $，点 $ M $ 在直线 $ y = x $ 上，$ \therefore M(2,2) $。
$ \because $ 点 $ M(2,2) $ 在一次函数 $ y = -\dfrac{1}{2}x + b $ 的图象上，$ \therefore b = 3 $，
$ \therefore $ 一次函数的解析式为 $ y = -\dfrac{1}{2}x + 3 $。
令 $ y = 0 $，得 $ x = 6 $，$ \therefore $ 点 $ A $ 的坐标为 $ (6,0) $。
(2) ① 由题意得 $ C(a,-\dfrac{1}{2}a + 3) $，$ D(a,a) $，
$ \therefore CD = a - (-\dfrac{1}{2}a + 3) = \dfrac{3}{2}a - 3 $。
$ \because OB = 2CD $。
$ \therefore 2(\dfrac{3}{2}a - 3) = 3 $，解得 $ a = 3 $；
② 存在。$ \because CD // OB $，以 $ B $，$ O $，$ C $，$ D $ 为顶点的四边形是平行四边形，
$ \therefore OB = CD $，
$ \therefore \dfrac{3}{2}a - 3 = 3 $，解得 $ a = 4 $，$ \therefore P(4,0) $。
即存在满足条件的点 $ P $，其坐标为 $ (4,0) $。

(1) ∵点M在直线$y=x$上且横坐标为2，∴$M(2,2)$。
∵点$M(2,2)$在$y=-\dfrac{1}{2}x+b$上，∴$2=-\dfrac{1}{2}×2+b$，解得$b=3$。
∴一次函数解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$。
令$y=0$，则$0=-\dfrac{1}{2}x+3$，解得$x=6$。
∴点A的坐标为$(6,0)$。
(2) ① 由题意，$C(a,-\dfrac{1}{2}a+3)$，$D(a,a)$。
$CD=a-(-\dfrac{1}{2}a+3)=\dfrac{3}{2}a-3$。
∵$B$为$y=-\dfrac{1}{2}x+3$与$y$轴交点，∴$B(0,3)$，$OB=3$。
∵$OB=2CD$，∴$3=2(\dfrac{3}{2}a-3)$，解得$a=3$。
② 存在。
∵$CD// OB$，四边形$B OCD$为平行四边形，∴$OB=CD$。
即$3=\dfrac{3}{2}a-3$，解得$a=4$。
∴点$P$的坐标为$(4,0)$。